1-26 Calcule a integral.

13. ∫ d x 1 - x 2 3 2

Passo 1

Como estamos lidando com uma integral que tem um radical, a primeira coisa que devemos fazer é pensar em como removê-lo, pois após fazer isso a integral fica muito mais fácil de se resolver.A forma que geralmente simplifcamos é usando a seguinte identidade: s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1   Mais especificamente, usaremos: cos 2 ⁡ x = 1 - s e n ² ( x )

Pois essa identidade é muito parecida com 1 - x 2 e como nossa raiz é quadrada, a identidade acaba sendo perfeita para fazer a simplificação que queremos.

Passo 2

Agora vamos fazer a substituição para simplificar a integral:

x = s e n θ ↔ d x = cos ⁡ θ d θ ,           - π 2 ≤ θ ≤ π 2

Substituindo, temos:

∫ d x 1 - x 2 3 2 = ∫ cos ⁡ θ d θ 1 - s e n 2 ( θ ) 3 2 = ∫ cos ⁡ θ d θ ( cos 2 ⁡ θ 3 ) 2 = ∫ cos ⁡ θ d θ cos 3 ⁡ ( θ )

Viu? No fim tudo se resume a resolver:

∫ 1 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ s e c ² θ d θ = tan ⁡ θ + C

Passo 3

Agora tudo que precisamos fazer é voltar a variável x , e para fazer isso vamos aplicar a função inversa de sen( θ )   : x = s e n θ ↔ θ = a r c s e n ( x )

Então:

∫ d x 1 - x 2 3 2 = tan ⁡ a r c s e n x + C

Existe uma outra identidade que simplifica a expressão, mas não é uma identidade trivial. Vou deixá-la aqui para o caso de o gabarito estar diferente.

tan ⁡ a r c s e n x = x 1 - x 2 1 / 2  

Resposta

x 1 - x 2 1 2 + C

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