Enunciado

Calcule a integral.

int (2 x^2 - 9 x - 9)/(x^3 - 9 x) d x

Passo 1

Vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

x^3 - 9 x = x (x^2 - 9) = x (x + 3) (x - 3)

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(2 x^2 - 9 x - 9)/(x^3 - 9 x) = (2 x^2 - 9 x - 9)/(x (x + 3) (x - 3)) = (A)/(x) + (B)/(x + 3) + (C)/(x - 3)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x (x + 3) (x - 3) :

2 x^2 - 9 x - 9 = A (x + 3) (x - 3) + B x (x - 3) + C x (x + 3)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

2 x^2 - 9 x - 9 = A (x + 3) (x - 3) + B x (x - 3) + C x (x + 3)

2 x^2 - 9 x - 9 = A (x^2 - 3 x + 3 x - 9) + B x^2 - 3 B x + C x^2 + 3 C x

2 x^2 - 9 x - 9 = A (x^2 - 9) + B x^2 - 3 B x + C x^2 + 3 C x

2 x^2 - 9 x - 9 = A x^2 - 9 A + B x^2 - 3 B x + C x^2 + 3 C x

2 x^2 - 9 x - 9 = x^2 (A + B + C) + x (- 3 B + 3 C) + (- 9 A)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B + C = 2],[- 3 B + 3 C = - 9],[- 9 A = - 9]])

Com a terceira temos o valor de A :

- 9 A = - 9 -> A = 1

Agora substituindo isso na primeira temos:

A + B + C = 2 -> 1 + B + C = 2 -> B + C = 1

Isolando B :

B = 1 - C

Agora vamos substituir na segunda:

- 3 B + 3 C = - 9 -> - B + C = - 3 -> - (1 - C) + C = - 3 -> - 1 + C + C = - 3 ->

-> 2 C = - 2 -> C = - 1

Temos então que o valor de B é:

B = 1 - C = 1 - (- 1) = 1 + 1 = 2

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (2 x^2 - 9 x - 9)/(x^3 - 9 x) d x = int (1)/(x) + (2)/(x + 3) + (- 1)/(x - 3) d x = int (1)/(x) d x + int (2)/(x + 3) d x + int (- 1)/(x - 3) d x =

= int (1)/(x) d x + 2 int (1)/(x + 3) d x - int (1)/(x - 3) d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Passo 4

Com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 int (1)/(x + 3) d x = 2 int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

2 int (1)/(u) d u = 2 ln |u| + C

Passo 5

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na terceira:

v = x - 3

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- int (1)/(x - 3) d x = - int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- int (1)/(v) d v = - ln |v| + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

int (2 x^2 - 9 x - 9)/(x^3 - 9 x) d x = int (1)/(x) d x + 2 int (1)/(x + 3) d x - int (1)/(x - 3) d x = ln |x| + 2 ln |u| - ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (2 x^2 - 9 x - 9)/(x^3 - 9 x) d x = ln |x| + 2 ln |u| - ln |v| + C = ln |x| + 2 ln |x + 3| - ln |x - 3| + C

Resposta

int (2 x^2 - 9 x - 9)/(x^3 - 9 x) d x = ln |x| + 2 ln |x + 3| - ln |x - 3| + C

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