Calcule a integral.

∫ 2 x 2 + 3 x x - 1 2 d x

Passo 1

Vamos olhar o denominador, ele então é um produto de fatores lineares distintos e que se repetem, vamos então usar a seguinte fórmula:

2 x 2 + 3 x x - 1 2 = A x + B x - 1 + C x - 1 2

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x x - 1 2 :

2 x 2 + 3 = A x - 1 2 + B x x - 1 + C x

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

2 x 2 + 3 = A x - 1 2 + B x x - 1 + C x

2 x 2 + 3 = A x 2 - 2 x + 1 + B x 2 - B x + C x

2 x 2 + 3 = A x 2 - 2 A x + A + B x 2 - B x + C x

2 x 2 + 3 = x 2 A + B + x - 2 A - B + C + A

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 2 - 2 A - B + C = 0 A = 3

Com a terceira temos o valor de A :

A = 3

Agora substituindo isso na primeira temos:

A + B = 2 → B = 2 - A → B = 2 - 3 → B = - 1

Agora vamos substituir na segunda:

- 2 A - B + C = 0 → - 2 ⋅ 3 - - 1 + C = 0 → - 6 + 1 + C = 0 → C = 5

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 2 x 2 + 3 x x - 1 2 d x = ∫ 3 x + - 1 x - 1 + 5 x - 1 2 d x = ∫ 3 x d x + ∫ - 1 x - 1 d x + ∫ 5 x - 1 2 d x =

= 3 ∫ 1 x d x - ∫ 1 x - 1 d x + 5 ∫ 1 x - 1 2 d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

3 ∫ 1 x d x = 3 ln ⁡ x + C

Passo 4

Com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- ∫ 1 x - 1 d x = - ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- ∫ 1 u d u = - ln ⁡ u + C

Passo 5

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na terceira:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

5 ∫ 1 x - 1 2 d x = 5 ∫ 1 v 2 d v = 5 ∫ v - 2 d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Aplicando:

5 ∫ v - 2 d v = 5 ⋅ v - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 5 ⋅ v - 1 - 1 + C = - 5 v + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

∫ 2 x 2 + 3 x x - 1 2 d x = 3 ∫ 1 x d x - ∫ 1 x - 1 d x + 5 ∫ 1 x - 1 2 d x = 3 ln ⁡ x - ln ⁡ u - 5 v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 2 x 2 + 3 x x - 1 2 d x = 3 ln ⁡ x - ln ⁡ u - 5 v + C = 3 ln ⁡ x - ln ⁡ x - 1 - 5 x - 1 + C

Resposta

∫ 2 x 2 + 3 x x - 1 2 d x = 3 ln ⁡ x - ln ⁡ x - 1 - 5 x - 1 + C

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