Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (x - 1)/((x - 2)^2 (x - 3)^2) d x

Passo 1

Vamos usar Frações Parciais, analisando o denominador vemos que ele é um produto de fatores lineares que se repetem, vamos então usar a seguinte fórmula:

(x - 1)/((x - 2)^2 (x - 3)^2) = (A)/(x - 2) + (B)/((x - 2)^2) + (C)/(x - 3) + (D)/((x - 3)^2)

Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 2)^2 (x - 3)^2 :

x - 1 = A (x - 2) (x - 3)^2 + B (x - 3)^2 + C (x - 2)^2 (x - 3) + D (x - 2)^2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x - 1 = A (x - 2) (x - 3)^2 + B (x - 3)^2 + C (x - 2)^2 (x - 3) + D (x - 2)^2

x - 1 = A (x - 2) (x^2 - 6 x + 9) + B (x^2 - 6 x + 9) + C (x^2 - 4 x + 4) (x - 3) + D (x^2 - 4 x + 4)

x - 1 = A (x^3 - 6 x^2 + 9 x - 2 x^2 + 12 x - 18) + B (x^2 - 6 x + 9) + C (x^3 - 4 x^2 + 4 x - 3 x^2 + 12 x - 12) + D (x^2 - 4 x + 4)

x - 1 = A (x^3 - 8 x^2 + 21 x - 18) + B (x^2 - 6 x + 9) + C (x^3 - 7 x^2 + 1 6 x - 12) + D (x^2 - 4 x + 4)

x - 1 = x^3 (A + C) + x^2 (- 8 A + B - 7 C + D) + x (21 A - 6 B + 16 C - 4 D) + (- 18 A + 9 B - 12 C + 4 D)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x^3 , x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + C = 0],[- 8 A + B - 7 C + D = 0],[21 A - 6 B + 16 C - 4 D = 1],[- 18 A + 9 B - 12 C + 4 D = - 1]])

Vamos isolar o C na primeira e substituir nas outras:

C = - A

{[[C = - A],[- 8 A + B + 7 A + D = 0],[21 A - 6 B - 16 A - 4 D = 1],[- 18 A + 9 B + 12 A + 4 D = - 1]]) -> {[[C = - A],[- A + B + D = 0],[5 A - 6 B - 4 D = 1],[- 6 A + 9 B + 4 D = - 1]])

Agora isolando B da segunda:

{[[C = - A],[B = - D + A],[5 A - 6 (- D + A) - 4 D = 1],[- 6 A + 9 (- D + A) + 4 D = - 1]] ->) {[[C = - A],[B = - D + A],[5 A + 6 D - 6 A - 4 D = 1],[- 6 A - 9 D + 9 A + 4 D = - 1]] -> {[[C = - A],[B = - D + A],[- A + 2 D = 1],[3 A - 5 D = - 1]]))

Multiplicando a terceira por 3 e somando com a quarta:

D = 2

Substituindo os valores de D achamos:

A = 2 D - 1 = 2 * 2 - 1 = 4 - 1 = 3

B = - D + A = - 2 + 3 = 1

C = - A = - 3

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x - 1)/((x - 2)^2 (x - 3)^2) d x = int (3)/(x - 2) + (1)/((x - 2)^2) + (- 3)/(x - 3) + (2)/((x - 3)^2) d x =

= 3 int (1)/(x - 2) d x + int (1)/((x - 2)^2) d x - 3 int (1)/(x - 3) d x + 2 int (1)/((x - 3)^2) d x

Agora vamos resolver as quarto integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

3 int (1)/(x - 2) d x = 3 int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

3 int (1)/(u) d u = 3 ln |u| + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/((x - 2)^2) d x = int (1)/(v^2) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

int (1)/(v^2) d v = int v^(- 2) d v = (v^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = (v^(- 1))/(- 1) + C = - (1)/(v) + C

Passo 5

Vamos usar a Regra da Substituição na terceira:

r = x - 3

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- 3 int (1)/(x - 3) d x = - 3 int (1)/(r) d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- 3 int (1)/(r) d r = - 3 ln |r| + C

Passo 6

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na última:

s = x - 2

Vamos agora achar diferencial de s , derivando:

d s = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 int (1)/((x - 3)^2) d x = 2 int (1)/(s^2) d s

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

2 int (1)/(s^2) d s = 2 int s^(- 2) d s = 2 (s^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = 2 (s^(- 1))/(- 1) + C = - (2)/(s) + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

3 int (1)/(x - 2) d x + int (1)/((x - 2)^2) d x - 3 int (1)/(x - 3) d x + 2 int (1)/((x - 3)^2) d x =

= 3 ln |u| - (1)/(v) - 3 ln |r| - (2)/(s) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x - 1)/((x - 2)^2 (x - 3)^2) d x = 3 ln |u| - (1)/(v) - 3 ln |r| - (2)/(s) + C =

= 3 ln |x - 2| - (1)/(x - 2) - 3 ln |x - 3| - (2)/(x - 3) + C

Resposta

int (x - 1)/((x - 2)^2 (x - 3)^2) d x = 3 ln |x - 2| - (1)/(x - 2) - 3 ln |x - 3| - (2)/(x - 3) + C

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