Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (d x)/(x^3 + 8)

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

int (d x)/(x^3 + 8) = int (d x)/((x + 2) (x^2 - 2 x + 4))

Vamos usar Frações Parciais, vamos então usar a seguinte fórmula:

(1)/((x + 2) (x^2 - 2 x + 4)) = (A)/(x + 2) + (B x + C)/(x^2 - 2 x + 4)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 2) (x^2 - 2 x + 4) :

1 = A (x^2 - 2 x + 4) + (B x + C) (x + 2)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A (x^2 - 2 x + 4) + (B x + C) (x + 2)

1 = A x^2 - 2 A x + 4 A + B x^2 + 2 B x + C x + 2 C

1 = x^2 (A + B) + x (- 2 A + 2 B + C) + (4 A + 2 C)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 0],[- 2 A + 2 B + C = 0],[4 A + 2 C = 1]]) -> {[[B = - A],[- 2 A + 2 B + C = 0],[C = (1)/(2) - 2 A]]) ->

{[[B = - A],[- 2 A - 2 A + (1)/(2) - 2 A = 0],[C = (1)/(2) - 2 A]]) -> {[[B = - A],[A = (1)/(12)],[C = (1)/(2) + 2 A]]) -> {[[B = - A = - (1)/(12)],[A = (1)/(12)],[C = (1)/(2) + 2 A = (1)/(2) + 2 (- (1)/(12)) = (1)/(3)]])

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (d x)/((x + 2) (x^2 - 2 x + 4)) = int ((1)/(12))/(x + 2) + (- (1)/(12) x + (1)/(3))/(x^2 - 2 x + 4) d x =

= (1)/(12) int (1)/(x + 2) d x + int (- (1)/(12) x)/(x^2 - 2 x + 4) d x + int ((1)/(3))/(x^2 - 2 x + 4) d x =

= (1)/(12) int (1)/(x + 2) d x - (1)/(12) int (x)/(x^2 - 2 x + 4) d x + (1)/(3) int (1)/(x^2 - 2 x + 4) d x =

= (1)/(12) int (1)/(x + 2) d x - (1)/(12) * (1)/(2) int (2 x - 2 + 2)/(x^2 - 2 x + 4) d x + (1)/(3) int (1)/(x^2 - 2 x + 4) d x =

= (1)/(12) int (1)/(x + 2) d x - (1)/(24) int (2 x - 2)/(x^2 - 2 x + 4) d x - (1)/(24) int (2)/(x^2 - 2 x + 4) d x + (1)/(3) int (1)/(x^2 - 2 x + 4) d x =

= (1)/(12) int (1)/(x + 2) d x - (1)/(24) int (2 x - 2)/(x^2 - 2 x + 4) d x - (2)/(24) int (1)/(x^2 - 2 x + 4) d x + (1)/(3) int (1)/(x^2 - 2 x + 4) d x =

= (1)/(12) int (1)/(x + 2) d x - (1)/(24) int (2 x - 2)/(x^2 - 2 x + 4) d x + (1)/(4) int (1)/(x^2 - 2 x + 4) d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(12) int (1)/(x + 2) d x = (1)/(12) int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(12) int (1)/(u) d u = (1)/(1 2) ln |u| + C

Passo 4

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição:

s = x^2 - 2 x + 4

Vamos agora achar diferencial de s , derivando:

d s = 2 x - 2 d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- (1)/(24) int (2 x - 2)/(x^2 - 2 x + 4) d x = - (1)/(24) int (1)/(s) d x

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (1)/(24) int (1)/(s) d s = - (1)/(24) ln |s| + C

Passo 5

Já com a terceira vamos completar quadrado:

(1)/(4) int (1)/(x^2 - 2 x + 4) d x = (1)/(4) int (1)/((x - 1)^2 + 3) d x

Vamos usar a Regra da Substituição:

r = x - 1

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(4) int (1)/((x - 1)^2 + 3) d x = (1)/(4) int (1)/(r^2 + 3) d r

Passo 6

Vamos usar outra Substituição:

r = sqrt(3) t

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = sqrt(3) d t

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(4) int (1)/(r^2 + 3) d r = (1)/(4) int (1)/(3 t^2 + 3) sqrt(3) d t = (sqrt(3))/(12) int (1)/(t^2 + 1) d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x^2 + 1) d x = arctg x + C

Aplicando:

(sqrt(3))/(12) int (1)/(t^2 + 1) d t = (sqrt(3))/(12) arctg t + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

(1)/(12) int (1)/(x + 2) d x - (1)/(24) int (2 x - 2)/(x^2 - 2 x + 4) d x + (1)/(4) int (1)/(x^2 - 2 x + 4) d x =

= (1)/(12) ln |u| - (1)/(24) ln |s| + (sqrt(3))/(12) arctg t + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (d x)/(x^3 + 8) = (1)/(12) ln |u| - (1)/(24) ln |s| + (sqrt(3))/(12) arctg t + C =

= (1)/(12) ln |x + 2| - (1)/(24) ln |x^2 - 2 x + 4| + (sqrt(3))/(12) arctg ((r)/(sqrt(3))) + C =

= (1)/(12) ln |x + 2| - (1)/(24) ln |x^2 - 2 x + 4| + (sqrt(3))/(12) arctg ((x - 1)/(sqrt(3))) + C

Resposta

int (d x)/(x^3 + 8) = (1)/(12) ln |x + 2| - (1)/(24) ln |x^2 - 2 x + 4| + (sqrt(3))/(12) arctg ((x - 1)/(sqrt(3))) + C

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Calcule a integral definida. ∫ 3 / 3 1 2 x 2 - 2 x + 1 x 3 + xd x
int (x + 4)/(x ( x^2 + 4 )) d x
∫ 1 2 x 3 + x d x
int (3 x^3 + 13 x + 4)/(x^3 + 4 x) d x
v = ( t + 3 ) ( t + 1 ) ( t + 2 )