Calcule a integral indefinida.

∫ d x x 3 + 8

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

∫ d x x 3 + 8 = ∫ d x x + 2 x 2 - 2 x + 4

Vamos usar Frações Parciais, vamos então usar a seguinte fórmula:

1 x + 2 x 2 - 2 x + 4 = A x + 2 + B x + C x 2 - 2 x + 4  

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 2 x 2 - 2 x + 4 :

1 = A x 2 - 2 x + 4 + B x + C x + 2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A x 2 - 2 x + 4 + B x + C x + 2

1 = A x 2 - 2 A x + 4 A + B x 2 + 2 B x + C x + 2 C

1 = x 2 A + B + x - 2 A + 2 B + C + 4 A + 2 C

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 0 - 2 A + 2 B + C = 0 4 A + 2 C = 1 → B = - A - 2 A + 2 B + C = 0 C = 1 2 - 2 A →

B = - A - 2 A - 2 A + 1 2 - 2 A = 0 C = 1 2 - 2 A → B = - A A = 1 12 C = 1 2 + 2 A → B = - A = - 1 12 A = 1 12 C = 1 2 + 2 A = 1 2 + 2 - 1 12 = 1 3

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ d x x + 2 x 2 - 2 x + 4 = ∫ 1 12 x + 2 + - 1 12 x + 1 3 x 2 - 2 x + 4 d x =

= 1 12 ∫ 1 x + 2 d x + ∫ - 1 12 x x 2 - 2 x + 4 d x + ∫ 1 3 x 2 - 2 x + 4 d x =

= 1 12 ∫ 1 x + 2 d x - 1 12 ∫ x x 2 - 2 x + 4 d x + 1 3 ∫ 1 x 2 - 2 x + 4 d x =

= 1 12 ∫ 1 x + 2 d x - 1 12 ⋅ 1 2 ∫ 2 x - 2 + 2 x 2 - 2 x + 4 d x + 1 3 ∫ 1 x 2 - 2 x + 4 d x =

= 1 12 ∫ 1 x + 2 d x - 1 24 ∫ 2 x - 2 x 2 - 2 x + 4 d x - 1 24 ∫ 2 x 2 - 2 x + 4 d x + 1 3 ∫ 1 x 2 - 2 x + 4 d x =

= 1 12 ∫ 1 x + 2 d x - 1 24 ∫ 2 x - 2 x 2 - 2 x + 4 d x - 2 24 ∫ 1 x 2 - 2 x + 4 d x + 1 3 ∫ 1 x 2 - 2 x + 4 d x =

= 1 12 ∫ 1 x + 2 d x - 1 24 ∫ 2 x - 2 x 2 - 2 x + 4 d x + 1 4 ∫ 1 x 2 - 2 x + 4 d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

1 12 ∫ 1 x + 2 d x = 1 12 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 12 ∫ 1 u d u = 1 1 2 ln ⁡ u + C

Passo 4

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição:

s = x 2 - 2 x + 4

Vamos agora achar diferencial de s , derivando:

d s = 2 x - 2   d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- 1 24 ∫ 2 x - 2 x 2 - 2 x + 4 d x = - 1 24 ∫ 1 s d x

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 1 24 ∫ 1 s d s = - 1 24 ln ⁡ s + C

Passo 5

Já com a terceira vamos completar quadrado:

1 4 ∫ 1 x 2 - 2 x + 4 d x = 1 4 ∫ 1 x - 1 2 + 3 d x

Vamos usar a Regra da Substituição:

r = x - 1

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

1 4 ∫ 1 x - 1 2 + 3 d x = 1 4 ∫ 1 r 2 + 3 d r

Passo 6

Vamos usar outra Substituição:

r = 3 t

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 3 d t

Fazendo a substituição ficamos com:

1 4 ∫ 1 r 2 + 3 d r = 1 4 ∫ 1 3 t 2 + 3 3 d t = 3 12 ∫ 1 t 2 + 1 d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x 2 + 1 d x = arctg ⁡ x + C

Aplicando:

3 12 ∫ 1 t 2 + 1 d t = 3 12 arctg ⁡ t + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

1 12 ∫ 1 x + 2 d x - 1 24 ∫ 2 x - 2 x 2 - 2 x + 4 d x + 1 4 ∫ 1 x 2 - 2 x + 4 d x =

= 1 12 ln ⁡ u - 1 24 ln ⁡ s + 3 12 arctg ⁡ t + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ d x x 3 + 8 = 1 12 ln ⁡ u - 1 24 ln ⁡ s + 3 12 arctg ⁡ t + C =

= 1 12 ln ⁡ x + 2 - 1 24 ln ⁡ x 2 - 2 x + 4 + 3 12 arctg ⁡ r 3 + C =

= 1 12 ln ⁡ x + 2 - 1 24 ln ⁡ x 2 - 2 x + 4 + 3 12 arctg ⁡ x - 1 3 + C

Resposta

∫ d x x 3 + 8 = 1 12 ln ⁡ x + 2 - 1 24 ln ⁡ x 2 - 2 x + 4 + 3 12 arctg ⁡ x - 1 3 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados