Calcule a integral abaixo:

∫ e s e n - 1 x 2 x - x 2   d x

Passo 1

Observe primeiramente que podemos simplificar essa integral. Logo, temos que:

∫ e s e n - 1 x 2 x - x 2   d x = 1 2 ∫ e s e n - 1 x   x 1 - x d x = 1 2 ∫ e s e n - 1 x x 1 - x   d x

Passo 2

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

1 2 ∫ e s e n - 1 x x 1 - x u = √ x                   d u = 1 2 x   d x ⇒ 2 d u = 1 x d x  

Passo 3

Aplicando a substituição:

1 2 ∫ 2 e s e n - 1 u 1 - u 2

Observe que como u = x ⇒ x = u 2

Passo 4

Efetuando uma nova substituição, temos:

v = s e n - 1 ( u )

d v = 1 1 - u 2   d u

Passo 5

Aplicando a substituição e integrando, temos:

∫ e v   d v = e v + C

Passo 6

Substituindo v e u pela função que atribuímos, temos respectivamente:

e s e n - 1 u + C = e s e n - 1 x + C

Resposta

e s e n - 1 x + C

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