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Calcule a integral abaixo:

45 –

∫ d x x 3 2 - x  

Passo 1

Organizando as potências:

∫ d x x 3 2 - x 1 2

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u = x 1 2

d u = 1 2 x - 1 2

d x = 1 d u = 1 1 2 x - 1 2

Substituindo:

∫ 1 x 3 2 - x 1 2 ⋅ 1 1 2 x - 1 2   d u

Colocando o fato x 1 2 em evidência:

∫ 1 x 1 2 ( x - 1 ) ⋅ 1 x - 1 2 2 d u

Mudando o expoente de x - 1 2

∫ 1 x 1 2 ( x - 1 ) ⋅ 1 1 2 x 1 2 d u =   ∫ 1 x 1 2 ( x - 1 ) ⋅ 2 x 1 2 d u =   ∫ 1 x - 1 ⋅ 2   d u  

Utilizando a propriedade:

a m n = a n m

∫ 2 x 1 2 2 - 1 d u =   ∫ 2 u 2 - 1 d u

Passo 2

Prosseguindo passando a constante multiplicativa para fora da integral:

2 ∫ 1 u 2 - 1 d u

Utilizando a fórmula:

∫ 1 x 2 - a ² d x = 1 2 a ⋅ ln ⁡ x - a x + a

Assim:

2 ∫ 1 u 2 - 1 d u = 2 1 2 ln ⁡ u - 1 u + 1 = ln ⁡ u - 1 u + 1 + C  

Passo 3

Substituindo para u =   x

ln ⁡ x - 1 x + 1 + C

Resposta

ln ⁡ x - 1 x + 1 + C

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