Enunciado

Use um gráfico de f x = 1 / ( x 2 - 2 x - 3 ) para decidir se ∫ 0 2 f x d x é positiva ou negativa. Utilize o gráfico para dar uma estimativa aproximada do valor da integral e então use as frações parciais para encontrar o valor exato.

Passo 1

Fazendo o esboço da curva, temos que

Como no intervalo 0 até 2 a função é negativa, a integral ∫ 0 2 f x d x é negativa. Além disso, podemos estimar a integral por um retângulo de base 2 e altura 3 / 10 . Assim,

∫ 0 2 f x d x ≈ - 2 ⋅ 3 10 = - 3 5 = - 0,6

Passo 2

Agora vamos calcular a integral usando frações parciais e comparar com nossa estimativa. Primeiro vamos resolver a equação

x 2 - 2 x - 3 = 0

Obtemos

x = 2 ± 4 2

Assim, x 2 - 2 x - 3 = ( x + 1 ) ( x - 3 ) . Desta forma,

1 x 2 - 2 x - 3 = 1 ( x + 1 ) ( x - 3 ) = A x + 1 + B x - 3 = A + B x + B - 3 A x 2 - 2 x - 3

Assim, A = - B e B + 3 B = 1 . Portanto, B = 1 / 4 e A = - 1 / 4 . Logo,

∫ 1 x 2 - 2 x - 3 d x = 1 4 ∫ 1 x - 3 - 1 x + 1 d x = 1 4 ln ⁡ x - 3 x + 1

Passo 3

Desta forma,

∫ 0 2 f x d x = 1 4 ln ⁡ x - 3 x + 1 0 2 = 1 4 ln ⁡ - 1 3 - ln ⁡ - 3 1 = - 1 2 ln ⁡ 3

Fazendo essa conta em uma calculadora, obtemos

∫ 0 2 f x d x = - 0,549

Note que é bem próximo de nossa estimativa!

Resposta

- 1 2 ln ⁡ 3

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