Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

∫ 0 1 4 r 1 - r 4     d r

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 0 1 4 r 1 - r 4     d r

u = r 2 d u = 2 r   d r

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 0 1 4 r 1 - r 4     d r = ∫ 0 1 2 1 - u 2     d u = 2 ∫ 0 1 1 1 - u 2     d u

Passo 3

Agora utilizaremos a integração primitiva trigonométrica:

∫ 1 1 - x 2   d x = s e n - 1   ( x ) + C

Assim:

2 ∫ 0 1 1 1 - u 2     d u = [ 2   s e n - 1   u ] 1 0

Passo 4

Por fim substituiremos u pela função que atribuímos e os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

  2   s e n - 1   u 1 0 = 2   s e n - 1   r 2 1 0 = 2 s e n - 1 1 - 2 s e n - 1 0 = 2 π 2 - 0 = π  

Resposta

π

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