Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

∫ - ∞ 2 2 x 2 + 4   d x  

Passo 1

Neste caso temos uma integral com um dos limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em ( - ∞ , b ] , então:

  ∫ - ∞ b f x d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a b f ( x ) d x

Assim:

∫ - ∞ 2 2 x 2 + 4   d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 2 2 x 2 + 4 d x  

Passo 2

Integrando, temos:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 2 2 x 2 + 4 d x = lim a → - ∞ ⁡ t g - 1   x 2   ​ b 2 = lim a → - ∞ ⁡ t g - 1 1 - t g - 1 b 2

Lembre-se também que de forma genérica a aplicação dos limites de integração é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 3

Aplicando o limite, temos:

lim a → - ∞ ⁡ t g - 1 1 - t g - 1 b 2 = π 4 - - π 2 = 3 π 4

Resposta

3 π 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados