Calcule as integrais que convirjam.

∫ 0 1 d x 1 - x 2

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 1 d x 1 - x 2

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ 0 1 d x 1 - x 2 = lim a → 1 - ⁡ ∫ 0 a d x 1 - x 2

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente.

Passo 3

Podemos resolver essa integral através da fórmula 2 1 que se encontra na página 490 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed – ANTON.

Logo:

lim a → 1 - ⁡ ∫ 0 a d x 1 - x 2 = lim a → 1 - ⁡ a r c s e n x a 0

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → 1 - ⁡ a r c s e n x a 0 = lim a → 1 - ⁡ a r c s e n a - a r c s e n 0

Portanto:

lim a → 1 - ⁡ ∫ 0 a d x 1 - x 2 = π 2 - 0 = π 2

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.

Resposta

∫ 0 1 d x 1 - x 2 = π 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados