Calcule a integral abaixo:

41 –

∫ cos ⁡ y   d y s e n 2 y + s e n   y - 6

Passo 1

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u = s e n   y

d u = cos ⁡ y   d y

d y = 1 d u = 1 cos ⁡ y

Substituindo:

∫ cos ⁡ y u ² + u - 6 ⋅ 1 cos ⁡ y d u =   ∫ 1 u 2 + u - 6 d u

u 2 + u - 6 = ( u + 3 ) ( u - 2 )

Assim:

∫ 1 ( u + 3 ) ( u - 2 ) d u

Resolvendo pelo método de frações parciais:

1 ( u + 3 ) ( u - 2 ) = A u - 2 + B u + 3

Resolvendo mmc:

1 ( u + 3 ) ( u - 2 ) = A ( u + 3 ) + B ( u - 2 ) ( u + 3 ) ( u - 2 )

Podemos cortar os denominadores, assim teremos:

1 = A u + 3 + B ( u - 2 )

Resolvendo a multiplicação:

1 = A u + 3 A + B u - 2 B

Colocando em evidência:

1 = A + B u + 3 A - 2 B

Assim:

A + B = 0

3 A - 2 B = 1

Fazendo na primeira equação:

A = - B

Substituindo na segunda:

3 - B - 2 B = 1 ;   - 3 B - B = 1 ;   - 5 B = 1 ; B = - 1 5

Assim como: A = - B ; A = - - 1 5 ; A = 1 5

Assim:

1 ( u + 3 ) ( u - 2 ) = 1 5 u - 2 + - 1 5 u + 3

1 ( u + 3 ) ( u - 2 ) = 1 5 ( u - 2 ) - 1 5 ( u + 3 )

Substituindo na integral:

∫ 1 5 1 u - 2 - 1 u + 3 d u = 1 5 ∫ 1 u - 2 - 1 u + 3 d u

Passo 2

Separando as integrais:

1 5 ∫ 1 u - 2 d u - ∫ 1 u + 3 d u

Resoolvendo a primeira integral:

1 5 ∫ 1 u - 2 d u = 1 5 ln ⁡ u - 2

Resolvendo a segunda integral:

- 1 5 ln ⁡ u + 3

Passo 3

Juntando os resultados das integrais:

1 5 ln ⁡ | u - 2 | - 1 5 ln ⁡ u + 3

Juntando os resultados obtidos, para u = s e n   y

1 5 ln ⁡ s e n   y - 2 - 1 5 ln ⁡ s e n   y + 3 = 1 5 ln ⁡ s e n   y - 2 s e n   y + 3 + C

Resposta

1 5 ln ⁡ s e n   y - 2 s e n   y + 3 + C

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