Exercício: 44 – Calcule a integral abaixo:

∫ x - 2 2 t g - 1 2 x - 12 x 3 - 3 x 4 x 2 + 1 x - 2 2 d x

Passo 1

Primeiramente vamos separar as frações da integral:

∫ x - 2 2 t g - 1 ( 2 x ) 4 x 2 + 1 x - 2 2 - 12 x 3 - 3 x 4 x 2 + 1 x - 2 2 d x

Podemos simplificar na primeira expressão e separar as integrais:

∫ t g - 1 2 x 4 x 2 + 1 d x + ∫ - 12 x 3 - 3 x 4 x 2 + 1 x - 2 2 d x

Colocando os termos em evidência:

∫ t g - 1 2 x 4 x 2 + 1 d x + ∫ - 3 x ( 4 x 2 + 1 ) 4 x 2 + 1 x - 2 2 d x

Simplificado:

∫ t g - 1 2 x 4 x 2 + 1 d x + ∫ - 3 x x - 2 2 d x = ∫ t g - 1 2 x 4 x 2 + 1 d x - 3 ∫ x x - 2 2   d x

Passo 2

Resolvendo a primeira integral:

∫ t g - 1 2 x 4 x 2 + 1 d x

Usando substituição udu:

u = t g - 1 2 x

d u = 1 1 + 2 x 2 ⋅ 2

d x = 1 1 1 + 2 x 2 ⋅ 2

Substituindo na integral:

∫ u 4 x 2 + 1 ⋅ 1 1 1 + 2 x 2 ⋅ 2 d u

∫ u 4 x 2 + 1 ⋅ 1 2 1 + 4 x 2 d u = ∫ u 4 x 2 + 1 ⋅ 1 + 4 x 2 2 d u =   ∫ u 2 d u = u 2 2 ⋅ 2 = u 2 4

Para u = t g - 1 x

t g - 1 2 x 2 4

Resolvendo o a segunda integral:

- 3 ∫ x x - 2 2   d x

Utilizando substituição udu:

u = x - 2       |   x = u + 2

d u = 1

d x = 1 d u = 1 1 = 1

- 3 ∫ u + 2 u 2 d u =   - 3 ∫ u u 2 + 2 u 2 d u = - 3 ∫ 1 u d t +   2 ∫ 1 u 2 d u =   - 3 ln ⁡ u + 2 ∫ u - 2 d u

Assim:

- 3 ln ⁡ u + 2 u - 2 + 1 - 2 + 1 = - 3 ln ⁡ u + 2 u - 1 - 1 = - 3 ln ⁡ u - 2 u

Dado u = x - 2

= - 3 ln ⁡ x - 2 - 2 x - 2 = - 3 ln ⁡ x - 2 + 6 x - 2

Passo 3

Unindo o resultado das integrais e somando a constante de integração, teremos:

t g - 1 2 x 2 4 - 3 ln ⁡ x - 2 + 6 x - 2 + C

Resposta

t g - 1 2 x 2 4 - 3 ln ⁡ x - 2 + 6 x - 2 + C

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