Enunciado

Calcule a integral abaixo:

45 –

int (d x)/(x^((3)/(2)) - sqrt(x))

Passo 1

Organizando as potências:

int (d x)/(x^((3)/(2)) - x^((1)/(2)))

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u = x^((1)/(2))

d u = (1)/(2) x^(- (1)/(2))

d x = (1)/(d u) = (1)/((1)/(2) x^(- (1)/(2)))

Substituindo:

int (1)/(x^((3)/(2)) - x^((1)/(2))) * (1)/((1)/(2) x^(- (1)/(2))) d u

Colocando o fato x^((1)/(2)) em evidência:

int (1)/(x^((1)/(2)) ( x - 1 )) * (1)/((x^(- (1)/(2)))/(2)) d u

Mudando o expoente de x^(- ((1)/(2)))

int (1)/(x^((1)/(2)) ( x - 1 )) * (1)/((1)/(2 x^((1)/(2)))) d u = int (1)/(x^((1)/(2)) ( x - 1 )) * 2 x^((1)/(2)) d u = int (1)/(x - 1) * 2 d u

Utilizando a propriedade:

a^(m n) = (a^n)^m

int (2)/((x^((1)/(2)))^2 - 1) d u = int (2)/(u^2 - 1) d u

Passo 2

Prosseguindo passando a constante multiplicativa para fora da integral:

2 int (1)/(u^2 - 1) d u

Utilizando a fórmula:

int (1)/(x^2 - a ²) d x = (1)/(2 a) * ln (|(x - a)/(x + a)|)

Assim:

2 int (1)/(u^2 - 1) d u = 2 ((1)/(2) ln (|(u - 1)/(u + 1)|)) = ln (|(u - 1)/(u + 1)|) + C

Passo 3

Substituindo para u = sqrt(x)

ln (|(sqrt(x) - 1)/(sqrt(x) + 1)|) + C

Resposta

ln (|(sqrt(x) - 1)/(sqrt(x) + 1)|) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ 1 + x x d x
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ 9 16 x x - 4 d x
Use um gráfico de f x = 1 / ( x 2 - 2 x - 3 ) para decidir se ∫ 0 2 f x d x é positiva ou negativa. Utilize o gráfico para dar uma estimativa aproximada do valor da integral e então use as frações par
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ sec 2 ⁡ t t g 2 t + 3 t gt + 2 d t
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ 1 x - x 3 d x Sugestão: Substitua u = x 6 ,