Enunciado

Calcule a integral abaixo:

49 –

∫ 1 x ( x 4 + 1 ) d x  

Dica: Multiplique por:

x 3 x ³

Passo 1

Seguindo a dica do exercício:

∫ 1 x ( x 4 + 1 ) ⋅ x 3 x 3 d x =   ∫ x 3 x 4 ( x 4 + 1 ) d x

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u = x 4

d u = 4 x 3

d x = 1 d u = 1 4 x 3

Substituindo:

∫ x 3 u ( u + 1 ) ⋅ 1 4 x 3 d u = 1 4 ∫ 1 u ( u + 1 ) d u

Realizando pelo método de frações parciais:

1 u ( u + 1 ) = A u + B u + 1

Tirando mmc:

1 u ( u + 1 ) = A u + 1 + B u u ( u + 1 )

Simplificando os denominadores temo:

1 = A u + 1 + B u

Aplicando a distributiva:

1 = A u + A + B u

Colocando em evidência:

1 = A + B u + A

A + B = 0

A = 1

1 + B = 0 ; B = - 1

Subsittuindo:

1 u ( u + 1 ) = 1 u - 1 u + 1

Inserindo na integral:

1 4 ∫ 1 u - 1 u + 1 d u

Passo 2

Organizando a integral:

1 4 ∫ 1 u d u - ∫ 1 u + 1 d u

Realizando a primeira integral:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Resolvendo a segunda integral:

- ∫ 1 u + 1 d u =   - ln ⁡ u + 1

Passo 3

Juntando as integrais:

1 4 ln ⁡ u - ln ⁡ u + 1

Realizando a multiplicação:

1 4 ln ⁡ u - 1 4 ln ⁡ u + 1

Substituindo, usando u = x 4

1 4 ln ⁡ x 4 - 1 4 ln ⁡ x 4 + 1 + C = 1 4 ln ⁡ x 4 x 4 + 1 + C

Resposta

1 4 ln ⁡ x 4 x 4 + 1 + C

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