Calcule a integral.

∫ 0 π 6 s e n   2 x cos ⁡ 4 x d x

Passo 1

Como temos um produto entre um seno e um cosseno, e eles tem argumentos diferentes, precisamos reescrever a integral, usando essa relação:

s e n   α cos ⁡ β = 1 2 s e n   α - β + s e n   α + β

Nossa integral fica assim:

∫ 0 π 6 s e n   2 x cos ⁡ 4 x d x = 1 2 ∫ 0 π 6 s e n 2 x - 4 x + s e n 2 x + 4 x d x

= 1 2 ∫ 0 π 6 s e n - 2 x + s e n ( 6 x ) d x

Como:

s e n - x = - s e n x

∫ 0 π 6 s e n   2 x cos ⁡ 4 x d x = 1 2 ∫ 0 π 6 - s e n 2 x + s e n 6 x d x =

= 1 2 ∫ 0 π 6 - s e n ( 2 x ) d x + ∫ 0 π 6 s e n ( 6 x ) d x

Passo 2

Agora a gente pode aplicar a substituição simples na primeira integral:

u = 2 x ,     d u d x = 2 ∴ d u 2 = d x

Substituindo na nossa integral:

∫ - s e n ( 2 x ) d x = 1 2 ∫ - s e n   u d u = cos ⁡ u 2 = cos ⁡ 2 x 2

Podemos também fazer uma substituição parecida na segunda integral:

u = 6 x ,     d u d x = 6 ∴ d u 6 = d x

∫ s e n ( 6 x ) d x = 1 6 ∫ s e n   u d u = - cos ⁡ u 6 = - cos ⁡ 6 x 6

Passo 3

Substituindo esses resultados nas nossas continhas:

∫ 0 π 6 s e n   2 x cos ⁡ 4 x d x = 1 2 cos ⁡ 2 x 2 - cos ⁡ 6 x 6 ​ 0 π 6 = 1 8 + 1 12 - 1 4 + 1 12 = 1 24

Resposta

1 24

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados