Calcule a integral.

∫ x cos 5 ⁡ ( x 2 ) d x

Passo 1

Primeiro vamos usar uma substituição simples para deixar esse cosseno sozinho:

u = x 2 , d u d x = 2 x ∴ d u 2 = x d x

A integral fica:

∫ cos 5 ⁡ u 2 d u

Passo 2

Agora, lembrando que:

cos 2 ⁡ u = 1 - s e n 2 u

Podemos reescrever nossa integral assim:

1 2 ∫ cos 5 ⁡ u d u = 1 2 ∫ cos 4 ⁡ u cos ⁡ u d u = 1 2 ∫ 1 - s e n 2 u 2 cos ⁡ u d u

= 1 2 ∫ 1 - 2   s e n 2 u + s e n 4 u cos ⁡ u d u

= 1 2 ∫ cos ⁡ u d u - ∫ s e n 2 u cos ⁡ u d u + 1 2 ∫ s e n 4 u cos ⁡ u d u =

= s e n   u 2 + ∫ - s e n 2 u + s e n 4 u 2 cos ⁡ u d u

Passo 3

Podemos usar uma substituição simples para resolver essa integral que apareceu:

t = s e n   u , d t d u = cos ⁡ u ∴ d t = cos ⁡ u d u

A integral fica:

∫ - s e n 2 u + s e n 4 u 2 cos ⁡ u d u = ∫ - t 2 + t 4 2 d t = - t 3 3 + t 5 10

= - s e n 3 u 3 + s e n 5 u 10

Substituindo isso na conta do passo anterior:

∫ cos 5 ⁡ u 2 d u = s e n   u 2 - s e n 3 u 3 + s e n 5 u 10

Passo 4

Mas a gente tem que lembrar que u = x 2 . E que precisamos colocar a constante de integração, já que a integral é indefinida:

∫ x cos 5 ⁡ x 2 d x = ∫ cos 5 ⁡ u 2 d u = s e n   x 2 2 - s e n 3 x 2 3 + s e n 5 x 2 10 + C

Resposta

s e n   x 2 2 - s e n 3 x 2 3 + s e n 5 x 2 10 + C

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