Calcule a integral.

∫ co s 3 ⁡ a t d t

Passo 1

Sendo a nossa integral:

∫ cos 3 ⁡ a t d t

Podemos usar a identidade trigonométrica que diz sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 :

Então se x = a t :

∫ cos 3 ⁡ a t d t = ∫ ( 1 - sen 2 at ) ⁡ cos ⁡ a t d t

Multiplicando, temos:

∫ co s 3 ⁡ a t d t = ∫ co s ⁡ a t - s en 2 ⁡ a t ⁡ cos ⁡ a t d t

Podemos separar a integral em:

∫ cos 3 ⁡ a t d t = ∫ cos ⁡ a t d t - ∫ s en 2 ⁡ a t ⁡ co s ⁡ a t d t

Passo 2

Vamos resolver utilizando substituições, começando pela integral:

∫ cos ⁡ a t d t

Onde u = a t e d u a = d t :

∫ co s ⁡ a t d t = ∫ cos ⁡ u . d u a =   1 a sen ⁡ u

Substituindo u , teremos:

∫ cos ⁡ a t d t = 1 a s en ⁡ a t  

Passo 3

Resolvendo a outra integral, teremos:

∫ sen 2 ⁡ at ⁡ cos ⁡ a t d t

Chamaremos:

u = sen ⁡ a t

d u a = cos ⁡ a t

Aplicando em substituição do tipo u d u , teremos:

∫ sen 2 ⁡ at ⁡ cos ⁡ a t d t = ∫ u 2 d u a

∫ sen 2 ⁡ at ⁡ cos ⁡ a t d t = 1 u 3 a . 3   + C        

Substituindo u , temos:

∫ sen 2 ⁡ at ⁡ cos ⁡ a t d t = s en 3 ⁡ a t 3 a + C

Retornando a integral principal, temos:

∫ cos 3 ⁡ a t d t = ∫ cos ⁡ a t d t - ∫ sen 2 ⁡ at ⁡ cos ⁡ a t d t

∫ cos 3 ⁡ a t d t = 1 a sen ⁡ a t - sen 3 ⁡ a t 3 a + C

Resposta

∫ cos 3 ⁡ a t d t = 1 a sen ⁡ a t - sen 3 ⁡ a t 3 a + C

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