Enunciado

Calcule a integral.

int sen^3 a theta d theta

Passo 1

Sendo a nossa integral:

int sen^3 a theta d theta

Podemos usar a identidade trigonométrica que diz sen^2 x + cos^2 x = 1 :

Então se x = a theta :

int sen^3 a theta d theta = int ( 1 - cos^2 ) a theta d theta

Multiplicando, temos:

int sen^3 a theta d theta = int sen a theta - cos^2 atheta sen a theta d theta

Podemos separar a integral em:

int sen^3 a theta d theta = int sen a theta d theta - int cos^2 atheta sen a theta d theta

Passo 2

Vamos resolver utilizando substituições, começando pela integral:

int sen a theta d theta

Onde u = a theta e (d u)/(a) = d theta :

int sen a theta d theta = int sen u . (d u)/(a) = (1)/(a) cos u

Substituindo u , teremos:

int sen a theta d theta = (1)/(a) cos a theta

Passo 3

Resolvendo a outra integral, teremos:

int cos^2 atheta sen a theta d theta

Chamaremos:

u = cos a theta

d u = - a sen a theta d theta

Aplicando em substituição do tipo u d u , teremos:

int cos^2 atheta sen a theta d theta = int (u^2 d u)/(- a)

int cos^2 atheta sen a theta d theta = - [ (1 u^3)/(a . 3) ] + C

Substituindo u , temos:

int cos^2 atheta sen a theta d theta = (- 1 cos^3 a theta)/(3 a) + C

Retornando a integral principal, temos:

int sen^3 a theta d theta = int sen a theta d theta - int cos^2 atheta sen a theta d theta

int sen^3 a theta d theta = (1)/(a) cos a theta - (- 1 cos^3 a theta)/(3 a) + C

int sen^3 a theta d theta = (1)/(a) cos a theta + (1 cos^3 a theta)/(3 a) + C

Resposta

int sen^3 a theta d theta = (1)/(a) cos a theta + (cos^3 a theta)/(3 a) + C

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