Calcule a integral.

∫ s e n 2 2 x cos 3 ⁡ 2 x   d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Bora calcular essa integral aí!

Primeiramente vamos tirar esse 2 x aí porque ele dificulta as coisas:

u = 2 x

d u = 2 d x

A nossa integral passa a ser:

1 2 ∫ s e n 2   u cos 3 ⁡ u   d u

Show!

Passo 2

Agora a gente vai usar a maravilhosa identidade trigonométrica:

s e n 2 u + cos 2 ⁡ u = 1

cos 2 ⁡ u = 1 - s e n 2 u

Substitui lá em cima agora:

1 2 ∫ s e n 2 u 1 - s e n 2 u cos ⁡ u   d u

Beleza, tá começando a melhorar...

Passo 3

Agora pra ficar top mesmo a gente vai fazer outra substituição:

v = s e n   u

d v = cos ⁡ u   d u

= 1 2 ∫ v 2 1 - v 2   d v

Olha que maravilha! Agora a gente integra em v :

= 1 2 ∫ v 2 - v 4   d v

= 1 2 v 3 3 - v 5 5

Passo 4

Agora é só a gente voltar para a variável u :

1 2 s e n 3 u 3 - s e n 5 u 5

E por fim voltamos para a variável x e somamos a constante!

1 2 s e n 3 2 x 3 - s e n 5 2 x 5 + C

Agora prontinho! Integral calculada com sucesso!

Resposta

1 2 s e n 3 2 x 3 - s e n 5 2 x 5 + C

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