Calcule a integral.

∫ e 2 x cos ⁡ 3 x   d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Essa aqui a gente vai fazer por integração por partes. Lembra como que é?

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Beleza, a primeira coisa então é a gente escolhe quem vai ser o u e quem vai ser o d v .

Bom, eu vou escolher u = e 2 x e d v = cos ⁡ 3 x .

Vamos começar então...

Passo 2

Pra montar a relação, a gente precisa de d u   e   v também. Derivando u e integrando v a gente encontra:

d u = 2 e 2 x   d x

v = s e n   3 x 3

Vamos chamar nossa integral inicial de I , e aí a gente tem:

I = e 2 x s e n   3 x 3 - ∫ 2 e 2 x s e n   3 x 3   d x

Dando uma arrumadinha a gente fica com:

I = e 2 x s e n   3 x 3 - 2 3 ∫ e 2 x s e n   3 x   d x         ( * )

Passo 3

Mas aí a gente chegou numa integral quase igual a do início que não sabemos resolver...

E agora?

Olha o bizu: quando a gente integra seno, vira (-) cosseno. Então se a gente fizer o mesmo esquema, a gente volta pra integral do início. Mas pra que voltar?

Espere e verá (...)

∫ e 2 x s e n   3 x   d x → u = e 2 x     e   d v = s e n   3 x

d u = 2 e 2 x   d x       v = - cos ⁡ 3 x 3

Montamos agora:

∫ e 2 x s e n   3 x   d x =     e 2 x - cos ⁡ 3 x 3 - ∫ - cos ⁡ 3 x 3   2 e 2 x   d x

∫ e 2 x s e n   3 x   d x =   - e 2 x cos ⁡ 3 x 3 + 2 3 ∫ e 2 x cos ⁡ 3 x   d x

Beleza, vamos substituir isso lá em   ( * ) agora...

Passo 4

Olha só, voltando a gente tem:

I = e 2 x s e n   3 x 3 - 2 3 - e 2 x cos ⁡ 3 x 3 + 2 3 ∫ e 2 x cos ⁡ 3 x   d x

E como a gente chamou I = ∫ e 2 x cos ⁡ 3 x   d x a gente pode fazer isso:

I = e 2 x s e n   3 x 3 - 2 3 - e 2 x cos ⁡ 3 x 3 + 2 3 I  

Agora vamos isolar o I :

I + 4 9 I = e 2 x s e n   3 x 3 + 2 e 2 x cos ⁡ 3 x 9  

13 I 9 = 3 e 2 x s e n   3 x + 2 e 2 x cos ⁡ 3 x 9

I = 3 e 2 x s e n   3 x + 2 e 2 x cos ⁡ 3 x 13 + C  

E pronto! Chegamos ao resultado da nossa integral😉

Resposta

I = 3 e 2 x s e n   3 x + 2 e 2 x cos ⁡ 3 x 13 + C  

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