Calcule a integral.

∫ sec 2 ⁡ θ ) t g 3 θ - t g 2 θ d θ

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos começar com uma substituição. Olha só, se a gente fizer:

u = t g   θ

d u = sec 2 ⁡ θ   d θ

Vai ficar assim ó:

∫ d u u 3 - u 2

E aí a gente pode fazer:

∫ d u u 2 u - 1  

Aí a gente cai numa fração parcial!

Passo 2

Vamos lá, temos termos lineares, então vamos ter:

1 u 2 u - 1 = A u + B u 2 + C u - 1

E aí a gente tem que achar esses A ,   B   e   C a...

Multiplicando tudo por u 2 u - 1 :

1 = A u u - 1 + B u - 1 + C u 2

1 = A u 2 - A u + B u - B + C u 2

1 = u 2 A + C + u - A + B - B

Pra isso ser uma igualdade verdadeira, a gente precisa que:

A + C = 0 - A + B = 0 - B = 1

Daí tiramos que B = - 1 , A =   - 1 e C = 1 .

Passo 3

Reescrevemos nossa fração então como:

1 u 2 u - 1 = - 1 u - 1 u 2 + 1 u - 1

E aí agora integramos isso:

∫ - 1 u - 1 u 2 + 1 u - 1   d u

= - ln ⁡ u + 1 u + ln ⁡ u - 1 + C  

Integramos! Agora é só voltar pra nossa variável:

=   - ln ⁡   t g   x + 1 t g   x + ln ⁡ t g   x - 1 + C

= - ln ⁡   t g   x + c o t g   x + ln ⁡ t g   x - 1 + C

Prontinho! 😉

Resposta

- ln ⁡   t g   x + c o t g   x + ln ⁡ t g   x - 1 + C

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