Calcule a integral.

∫ x e - 2 x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

∫ f x g x d x

Iremos fazer:

u = f x e d v = g x d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

∫ x e - 2 x d x

E supondo:

u = x e d v = e - 2 x d x

Conseguimos encontrar:

d u = d x

E:

v = ∫ e - 2 x d x

Que, resolvendo através da substituição com a = - 2 x , tal que d a = - 2 d x , obtemos:

v = ∫ e a - d a 2 = - 1 2 e a

Ou seja:

v = - 1 2 e - 2 x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

∫ x e - 2 x d x = x - 1 2 e - 2 x - ∫ - 1 2 e - 2 x d x

Que pode ser reescrita como:

∫ x e - 2 x d x = - 1 2 x e - 2 x + 1 2 ∫ e - 2 x d x

Como a integral do lado direito da equação já foi calculada no Passo 2 e é o resultado de v , podemos reaproveitar isso. Logo:

∫ x e - 2 x d x = - 1 2 x e - 2 x + 1 2 - 1 2 e - 2 x + C

∫ x e - 2 x d x = - 1 2 x e - 2 x - 1 4 e - 2 x + C

Passo 4

Por fim, podemos tirar o fator comum desse resultado obtido para ter como resposta final:

∫ x e - 2 x d x = - e - 2 x x 2 + 1 4 + C

Resposta

∫ x e - 2 x d x = - e - 2 x x 2 + 1 4 + C

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