Calcule a integral.

∫ x cos ⁡ 5 x   d x

Passo 1

Opa! Nesse exercício iremos resolver a seguinte integral:

��� x cos ⁡ 5 x   d x

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Na nossa integral a gente tem uma parte algébrica e uma trigonométrica. Pela ordem de prioridade teremos:

u = x

d v = cos ⁡ 5 x   d x

Passo 2

Agora a gente precisa achar d u e v . Derivando u :

d u d x = 1 → d u = d x

Agora integrando d v :

∫ d v = ∫ cos ⁡ 5 x   d x

Vamos usar substituição simples, fazendo:

z = 5 x

d z d x = 5 → d x = 1 5   d z

v = ∫ cos ⁡ z   1 5   d z

v = 1 5 ∫ cos ⁡ z = 1 5 sin ⁡ z

v = 1 5 sin ⁡ 5 x

Vamos usar Integração por Partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

= x 1 5 sin ⁡ 5 x - ∫ 1 5 sin ⁡ 5 x   d x

Passo 3

Agora a gente integra:

∫ sin ⁡ 5 x   d x

Usando substituição simples:

z = 5 x

d z d x = 5 → d x = 1 5 d z

∫ sin ⁡ z 5 d z = - 1 5 cos ⁡ z = - 1 5 cos ⁡ 5 x

Agora a gente só precisa juntar tudo:

x 5 sin ⁡ 5 x - 1 5 ∫ sin ⁡ 5 x   d x = x sin ⁡ 5 x - 1 5 - 1 5 cos ⁡ 5 x

= x 5 sin ⁡ 5 x + 1 25 cos ⁡ 5 x + C

Prontinho!

Resposta

∫ x cos ⁡ 5 x   d x = x 5 sin ⁡ 5 x + 1 25 cos ⁡ 5 x + C

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