Enunciado

Calcule a integral.

int x cos 5 x d x

Passo 1

Opa! Nesse exercício iremos resolver a seguinte integral:

��� x cos 5 x d x

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

int u d v = (u v) - int v d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Na nossa integral a gente tem uma parte algébrica e uma trigonométrica. Pela ordem de prioridade teremos:

u = x

d v = cos 5 x d x

Passo 2

Agora a gente precisa achar d u e v . Derivando u :

(d u)/(d x) = 1 -> d u = d x

Agora integrando d v :

int d v = int cos 5 x d x

Vamos usar substituição simples, fazendo:

z = 5 x

(d z)/(d x) = 5 -> d x = (1)/(5) d z

v = int cos z ((1)/(5) d z)

v = (1)/(5) int cos z = (1)/(5) sin z

v = (1)/(5) sin 5 x

Vamos usar Integração por Partes:

int u d v = u v - int v d u

= x ((1)/(5) sin 5 x) - int (1)/(5) sin 5 x d x

Passo 3

Agora a gente integra:

int sin 5 x d x

Usando substituição simples:

z = 5 x

(d z)/(d x) = 5 -> d x = (1)/(5) d z

int (sin z)/(5) d z = - (1)/(5) cos z = - (1)/(5) cos 5 x

Agora a gente só precisa juntar tudo:

(x)/(5) (sin 5 x) - (1)/(5) int sin 5 x d x = x (sin 5 x) - (1)/(5) (- (1)/(5) cos 5 x)

= (x)/(5) sin 5 x + (1)/(25) cos 5 x + C

Prontinho!

Resposta

int x cos 5 x d x = (x)/(5) sin 5 x + (1)/(25) cos 5 x + C

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