Enunciado

Use a fórmula do comprimento de arco para achar o comprimento da curva y = 4 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 . Verifique o seu resultado observando que a curva é um quarto de círculo.

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A atividade é bem direta sobre o que ela quer, iremos aplicar a fórmula de comprimento de arco para encontramos o comprimento da curva dada no intervalo dado.

Abaixo vamos dar uma olhada na curva que iremos trabalhar:

A curva é a que está dentro da região azul.

Já a fórmula que iremos aplicar é a:

L = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x

Passo 2

Para a nossa situação, a = 0 , b = 2 e y = 4 - x 2

Derivando:

d y d x = - x 4 - x 2

Agora vamos substituir na fórmula:

L = ∫ 0 2 1 + - x 4 - x 2 2 d x

= ∫ 0 2 1 + x 2 4 - x 2 d x

= ∫ 0 2 4 4 - x 2 d x

= 2 arcsin ⁡ x 2 0 2

= π - 0

= π

Ufa, chegamos no mesmo resultado!!!

Resposta

π  

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Nos exercícios de 23 a 26, use a regra de Simpson com n = 8 para aproximar até quatro casas decimais o comprimento de arco. (23) O arco da curva seno, da origem ao ponto ( π ,0 ) .
Nos exercícios de 23 a 26, use a regra de Simpson com n = 8 para aproximar até quatro casas decimais o comprimento de arco. (25) O arco da curva y = x 3 3 , da origem ao ponto ( 1 , 1 3 ) .
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