Enunciado

Calcule a integral usando integração por partes tabulada.

∫ 3 x 2 - x + 2 e - x d x

Passo 1

Podemos resolver o exercício utilizando Integração por partes tabulada, que consiste em derivar repetidamente uma das funções (geralmente o polinômio) até chegar em zero.

Após derivar repetidamente os termos, iremos traçar uma seta partindo da primeira entrada da coluna de derivação, até o ponto da coluna de integração na linha de baixo, e faremos isso até atingir o último termo e identificaremos com sinais + , - ... iniciando sempre com o sinal positivo. Bora lá?

Começando com a derivação repetida e integração repetida:

Agora, vamos considerar os favores interligados pela seta, como uma multiplicação, inclusive de sinais. Dessa forma:

∫ 3 x 2 - x + 2 e - x d x = 3 x 2 - x + 2 + - e - x + - 6 x - 1 e - x + 6 ( - e - x ) ( + )

Assim:

∫ 3 x 2 - x + 2 e - x d x = - 3 x 2 - x + 2 e - x - 6 x - 1 e - x - 6 e - x + C

Multiplicando os termos, temos:

∫ 3 x 2 - x + 2 e - x d x = - 3 x 2 - x + 2 - 6 x - 1 - 6 e - x + C

Reorganizando, temos:

∫ 3 x 2 - x + 2 e - x d x = - 3 x 2 + x - 2 - 6 x + 1 - 6 e - x + C

Calculando, temos:

∫ 3 x 2 - x + 2 e - x d x = - 3 x 2 - 5 x - 7 e - x + C

Retirando o sinal de dentro da fórmula:

∫ 3 x 2 - x + 2 e - x d x = - 3 x 2 + 5 x + 7 e - x + C

Resposta

∫ 3 x 2 - x + 2 e - x d x = - 3 x 2 + 5 x + 7 e - x + C

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