Calcule a integral ∫ t 2 . cos ⁡ t d t usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   t 2

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u   =   ( t 2 ) ’ .   d t                    

d v   =   c o s   t   d t

d u   =   2 t   .   d t  

v   =   ∫   c o s   t   d t

v   =   s e n   t

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ t 2 . cos ⁡ t d t = t 2 . s e n   t -   ∫ s e n   t   .   2 t   d t    

= t 2 . s e n   t - 2 ∫ t .   s e n   t   d t    

Para continuar desenvolvendo a questão precisamos resolver ∫ t .   s e n   t   d t     , e a melhor forma é resolvendo por partes:

w   =   t            

d w   =   ( t ) ’ .   d t                

d w   =   1   .   d t    

d z   =   s e n   t   d t

z   =   ∫ s e n   t   d t

z   =   - c o s   t

∫ w   d z = w . z -   ∫ z   d w

∫ t .   s e n   t   d t     = t . ( - cos ⁡ t ) -   ∫ ( - cos ⁡ t )   d t

=   - t . cos ⁡ t - ( - 1 ) ∫ cos ⁡ t   d t

= - t . cos ⁡ t + s e n   t

Agora é só subistituir o resultado pra continuar o desenvolvimento:

∫ t 2 . cos ⁡ t d t =   t 2 . s e n   t - 2 ∫ t .   s e n   t   d t    

=   t 2 . s e n   t - 2 - t . cos ⁡ t + s e n   t

=   t 2 . s e n   t + 2 t . cos ⁡ t - 2 . s e n   t + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ t 2 . cos ⁡ t d t =   t 2 . s e n   t + 2 t . cos ⁡ t - 2 . s e n   t + c

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