Calcule a integral ∫ 1 2 x . ln ⁡ x   d x   usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Apesar de se tratar de uma integral definida iremos, inicialmente, resolver como se fosse indefinida para facilitar o cálculo e depois aplicar a integral definida.

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   l n   x  

Pois é o valor mais simples de derivar

d u   =   ( ln ⁡ x ) ’ .   d x  

d u   =   1 x   .   d x              

d v   =   x   d x

v   =   ∫ x   d x

v   =   x 2 2

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ x . ln ⁡ x d x = ln ⁡ x . (   x 2 2 ) -   ∫   x 2 2 .   1 x d x    

=   x 2 2   . ln ⁡ x - ∫ x 2 x . 1 2   d x  

=   x 2 2   . ln ⁡ x - 1 2 ∫ x   d x  

=   x 2 2   . ln ⁡ x - 1 2 . x 2 2  

= x 2 2   . ln ⁡ x - x 2 4  

Passo 4

Como se trata de uma integral definida de 1 até 2, iremos aplicar agora

  ∫ 1 2 x . ln ⁡ x   d x   =   x 2 2   . ln ⁡ x - x 2 4   1 2

= 2 2 2 . ln ⁡ 2 - 2 2 4   - 1 2 2   . ln ⁡ 1 - 1 2 4  

= 2 . ln ⁡ 2   - 1   - 1 2   . 0 ⁡ - 1 4  

= 2 . ln ⁡ 2   - 1   - - 1 4

= 2 . ln ⁡ 2   - 1   + 1 4

= 2 . ln ⁡ 2   - 3 4

Aplicando a propriedade logaritímica da potência passamos esse 2 na frente do ln para expoente:

= ln ⁡ 2 2   - 3 4

= ln ⁡ 4   - 3 4

Resposta

∫ 1 2 x . ln ⁡ x   d x   =   ln ⁡ 4   - 3 4  

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