Calcule a integral ∫ 1 e x 3 . ln ⁡ x   d x   usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Apesar de se tratar de uma integral definida iremos, inicialmente, resolver como se fosse indefinida para facilitar o cálculo e depois aplicar a integral definida.

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   l n   x  

Pois é o valor mais simples de derivar

d u   =   ln ⁡ x ’ .   d x

d u   =   1 x   .   d x

d v   =   x 3   d x

v   =   ∫ x 3   d x

v   =   x 4 4

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ x 3 . ln ⁡ x d x = ln ⁡ x . (   x 4 4 ) -   ∫   x 4 4 .   1 x d x    

=   x 4 4   . ln ⁡ x - ∫ x 4 x . 1 4   d x  

=   x 4 4   . ln ⁡ x - 1 4 ∫ x 3   d x  

=   x 4 4   . ln ⁡ x - 1 4 . x 4 4  

=   x 4 4   . ln ⁡ x - x 4 16  

Passo 4

Como se trata de uma integral definida de 1 até e , iremos aplicar agora

  ∫ 1 e x 3 . ln ⁡ x   d x   =   x 4 4   . ln ⁡ x - x 4 16   1 e

= e 4 4 . ln ⁡ e - e 4 16   - 1 4 4   . ln ⁡ 1 - 1 4 16  

= e 4 4 . 1 ⁡ - e 4 16   - 1 4   . 0 ⁡ - 1 16  

= e 4 4 - e 4 16 - - 1 16

= e 4 4 - e 4 16 + 1 16

= e 4 4 -   e 4 + 1 16

Fazendo a subtração de frações com demominador diferente, fica:

= 4 e 4 - e 4 + 1 16

= 3 e 4 + 1 16

Resposta

∫ 1 e x 3 . ln ⁡ x   d x   = 3 e 4 + 1 16

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