Enunciado

79) Um corpo cai do repouso e percorre uma distância de s   m antes de atingir o solo. Se a única força agindo sobre ele é a gravidade, o que lhe dá uma aceleração de g   m / s 2 em direção ao solo, mostre que o valor médio da velocidade expresso como uma função da distância, é 2 3 2 g s m/s e que essa velocidade média é dois terços da velocidade final.

Passo 1

Sabemos da Física que:

g = d v d t = d v d x . d x d t = v . d v d t

E então integrando,

1 2 v 2 = g x + C

Agora, vamos avaliar as condições de contorno:

- Quando v = 0   e m   x = 0 ,   temos C = 0 , então: v 2 = 2 g x  

- Quando v > 0   ,também temos: v 2 = 2 g x

- Quando v = v   e m   x = s ,   t a m b é m   temos v 2 = 2 g x

Portanto, o valor médio da função no intervalo [ 0 , s ] é dado por:

V M = 1 s - 0 ∫ 0 s 2 g x   d x

V M = 1 s 2 g ∫ 0 s x 1 2   d x

Integrando e substituindo os limites, temos:

V M = 2 3 2 g s

Como

v = 2 g s

e

V M = 2 3 2 g s

Podemos observar que:

V M = 2 3 v

Resposta

V M = 2 3 2 g s

V M = 2 3 v

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31-34. Use o Teorema 5.5.5 para calcular as integrais dadas.32. a) ∫ - 1 2 2 + x d x
Defina F( x ) por F x = ∫ 4 x 1 t d t (a) Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar F ' ( x ) .(b) Confira o resultado de (a) primeiro integrando e depois derivando.
57. Defina F(x) por F x = ∫ 1 x 3 t 2 - 3 d t (a) Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrarF x . (b) Verifique o resultado de (a) integrando e depois diferenciando.
58. Defina F(x) por F x = ∫ π 4 x c o s 2 td t (a) Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar F x . (b) Verifique o resultado de (a) integrando e depois diferenciando.
59-62 Use a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar as derivadas.61- d d x ∫ x 0 t sec ⁡ td t [Sugestão: Use a Definição 5.5.3 (b).]