Calcule a integral

∫ π 4 π 2 cot 3 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos relembrar a seguinte propriedade trigonométrica: cot 2 ⁡ ( x ) + 1 = csc 2 ⁡ ( x ) .

Então, substituindo

∫ π 4 π 2 cot 3 ⁡ ( x ) d x = ∫ π 4 π 2 cot ⁡ x cot 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ π 4 π 2 cot ⁡ x ( csc 2 ⁡ x - 1 ) d x = ∫ π 4 π 2 cot ⁡ x csc 2 ⁡ ( x ) d x - ∫ π 4 π 2 cot ⁡ x d x

Passo 2

Vamos calcular separadamente cada integral.

Calculando a primeira pelo método da substituição

∫ π 4 π 2 cot ⁡ x csc 2 ⁡ ( x ) d x

Seja u = cot ⁡ x , temos que d u = - csc 2 ⁡ ( x ) d x . Vamos também calcular os novos limites de integração, pra não precisarmos retornar pra variável x , então

u i n f e r i o r = cot ⁡ π 4 = 1

u s u p e r i o r = cot ⁡ π 2 = 0

- ∫ 1 0 u d u = - 1 2 u 2 1 0 = - 0 + 1 2 = 1 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda integral, para isso, vamos reescrevê-la

∫ π 4 π 2 c o t ⁡ ( x ) d x = ∫ π 4 π 2 cos ⁡ x sin ⁡ x d x

Pelo método da substituição

Seja u = sin ⁡ x , temos que d u = cos ⁡ x d x . Vamos também calcular os novos limites de integração, pra não precisarmos retornar pra variável x , então

u i n f e r i o r = sin ⁡ π 4 = 2 2

u s u p e r i o r = sin ⁡ π 2 = 1

∫ 2 2 1 cos ⁡ x sin ⁡ x d x = ∫ 2 2 1 1 u d u = ln ⁡ u = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 2 = - l n 2 2 = - ln ⁡ 2 - ( - ln ⁡ 2 ) = - ln ⁡ 2 1 2 + ln ⁡ 2 = - 1 2 ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 = 1 2 ln ⁡ 2

Passo 4

Agora que calculamos cada uma separadamente, podemos calcular a integral

∫ π 4 π 2 cot ⁡ x csc 2 ⁡ ( x ) d x - ∫ π 4 π 2 cot ⁡ x d x = 1 2 - 1 2 ln ⁡ 2 = 1 2 1 - ln ⁡ 2

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ π 4 π 2 cot 3 ⁡ ( x ) d x = 1 2 1 - ln ⁡ 2

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