Calcule a integral

∫ tan 2 ⁡ x + tan 4 ⁡ x d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Veja que temos uma soma na integral, então vamos separar essa integral em duas e calcular cada uma separadamente. Separando ficamos com

∫ tan 2 ⁡ x + tan 4 ⁡ x d x = ∫ tan 2 ⁡ x d x + ∫ tan 4 ⁡ x d x

Agora, vamos calcular a primeira integral, pra isso, a gente tem que lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ ( x ) = sec 2 ⁡ ( x ) - 1 , então

∫ tan 2 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x - 1 d x = tan ⁡ x - x + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Passo 2

Agora, vamos calcular a segunda integral, nela vamos usar a mesma propriedade trigonométrica que a gente usou na integral que calculamos antes, então fica assim

∫ tan 4 ⁡ x d x = ∫ tan 2 ⁡ x ⋅ tan 2 ⁡ x d x = ∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 d x = ∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x - tan 2 ⁡ x d x

Agora, pra facilitar nossa vida, vamos calcular essas integrais separadamente, mas repare que nós já calculamos ∫ tan 2 ⁡ ( x ) d x , então a gente não precisa calcular de novo. Vamos calcular somente a integral

∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ ( x ) d x

Seja u = tan ⁡ ( x ) , temos que d u = sec 2 ⁡ ( x ) d x , então

∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x = ∫ u 2 d u = 1 3 u 3 + c

Substituindo u

∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x = 1 3 tan 3 ⁡ x + c

Agora, juntando o resultado da integral ∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ ( x ) d x com o resultado da integral ∫ tan 2 ⁡ ( x ) d x , podemos ter o resultado da integral ∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x - tan 2 ⁡ x d x

∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x - tan 2 ⁡ x d x = 1 3 tan 3 ⁡ x + c 1 - tan ⁡ x + x - c 2

Repare que temos duas constantes, mas pensa o seguinte, se tiver uma constante e subtrair com outra constante, o resultado também será uma constante, então, podemos escrever

∫ tan 4 ⁡ x d x = ∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x - tan 2 ⁡ x d x = 1 3 tan 3 ⁡ x - tan ⁡ x + x + k

Passo 3

Agora, juntando os resultados

∫ tan 2 ⁡ x + tan 4 ⁡ x d x = tan ⁡ x - x + c + 1 3 tan 3 ⁡ x - tan ⁡ x + x + k

Repare que temos duas constantes, mas pensa o seguinte, se tiver uma constante e somar com outra constante, o resultado também será uma constante, então, podemos escrever

∫ tan 2 ⁡ x + tan 4 ⁡ x d x = 1 3 tan 3 ⁡ x + c

Resposta

∫ tan 2 ⁡ x + tan 4 ⁡ x d x = 1 3 tan 3 ⁡ x + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados