Prove:

∫ c o s n u d u = 1 n c o s n - 1 u   s e n u + n - 1 n ∫ c o s n - 2 u d u

Passo 1

Bom, primeiro precisaremos escrever a integral assim:

∫ c o s n u d u = ∫ c o s n - 1 u   c o s u   d u

Passo 2

A partir daí vamos aplicar integração por partes:

∫ w d v = w v - ∫ v d w

E então chamaremos

w = c o s n - 1 u ,                 d v = c o s u d u  

Derivando w em relação a u e integrando dv em relação a u:

d w = - n - 1 c o s n - 2 u   s e n u d u ,                 v = s e n u  

Substituindo:

∫ c o s n - 1 u c o s u d u = c o s n - 1 u   s e n u + n - 1 ∫ s e n 2 u c o s n - 2 u d u

Pela relação trigonométrica:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

A última integral pode ser escrita como:

∫ s e n 2 u c o s n - 2 u d u = ∫ 1 - c o s 2 u c o s n - 2 u d u

Resolvendo o produto ficamos com:

∫ s e n 2 u c o s n - 2 u d u = ∫ c o s n - 2 - c o s n u d u

Expandindo a integral:

∫ s e n 2 u c o s n - 2 u d u = ∫ c o s n - 2 d u - ∫ c o s n u d u

Substituindo na integral anterior:

∫ c o s n - 1 u c o s u d u = c o s n - 1 u   s e n u + n - 1 ∫ c o s n - 2 d u - n - 1 ∫ c o s n u d u

Mas como podemos perceber, o último termo que apareceu:

n - 1 ∫ c o s n u d u

É semelhante à integral que começamos a resolver, passando então esse termo pro lado esquerdo da igualdade:

n - 1 ∫ c o s n u d u + ∫ c o s n - 1 u c o s u d u = c o s n - 1 u   s e n u + n - 1 ∫ c o s n - 2 d u

E somando:

n ∫ c o s n u d u = c o s n - 1 u   s e n u + n - 1 ∫ c o s n - 2 d u

Passando n para o outro lado:

∫ c o s n u d u = 1 n c o s n - 1 u   s e n u + n - 1 n ∫ c o s n - 2 d u

E provamos a relação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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