Enunciado

Prove:

int c o s^n u d u = (1)/(n) c o s^(n - 1) u s e n u + (n - 1)/(n) int c o s^(n - 2) u d u

Passo 1

Bom, primeiro precisaremos escrever a integral assim:

int c o s^n u d u = int c o s^(n - 1) u c o s u d u

Passo 2

A partir daí vamos aplicar integração por partes:

int w d v = w v - int v d w

E então chamaremos

w = c o s^(n - 1) u , d v = c o s u d u

Derivando w em relação a u e integrando dv em relação a u:

d w = - (n - 1) c o s^(n - 2) u s e n u d u , v = s e n u

Substituindo:

int c o s^(n - 1) u c o s u d u = c o s^(n - 1) u s e n u + (n - 1) int s e n^2 u c o s^(n - 2) u d u

Pela relação trigonométrica:

s e n^2 x + c o s^2 x = 1

A última integral pode ser escrita como:

int s e n^2 u c o s^(n - 2) u d u = int (1 - c o s^2 u) c o s^(n - 2) u d u

Resolvendo o produto ficamos com:

int s e n^2 u c o s^(n - 2) u d u = int c o s^(n - 2) - c o s^n u d u

Expandindo a integral:

int s e n^2 u c o s^(n - 2) u d u = int c o s^(n - 2) d u - int c o s^n u d u

Substituindo na integral anterior:

int c o s^(n - 1) u c o s u d u = c o s^(n - 1) u s e n u + (n - 1) int c o s^(n - 2) d u - (n - 1) int c o s^n u d u

Mas como podemos perceber, o último termo que apareceu:

(n - 1) int c o s^n u d u

É semelhante à integral que começamos a resolver, passando então esse termo pro lado esquerdo da igualdade:

(n - 1) int c o s^n u d u + int c o s^(n - 1) u c o s u d u = c o s^(n - 1) u s e n u + (n - 1) int c o s^(n - 2) d u

E somando:

n int c o s^n u d u = c o s^(n - 1) u s e n u + (n - 1) int c o s^(n - 2) d u

Passando n para o outro lado:

int c o s^n u d u = (1)/(n) c o s^(n - 1) u s e n u + ((n - 1))/(n) int c o s^(n - 2) d u

E provamos a relação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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