Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 8
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo e as retas e .
Passo 1
Inicialmente precisamos mudar a função de integração de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Portanto, temos:
Agora, precisamos escrever a nossa região em coordenadas polares. Ela é um retângulo polar. Os limites laterais são dados pelas retas , o que implica em , e , o que implica em . Para obter este último valor, basta fazer:
Já o raio varia de 0 até o círculo de raio 2. Logo,
Passo 2
Agora que descrevemos a região em coordenadas polares, podemos colocar os limites de integração na nossa integral. Portanto,
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D x yd A , onde D é o disco com centro na origem e raio 3 .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∫ ∫ R cos x 2 + y 2d A , onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 .
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ π 2 π ∫ 4 7 rd rd θ
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos θ rd rd θ