Enunciado

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ R 2 x - y d A

Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 4 e as retas x = 0 e y = x .

Passo 1

Inicialmente precisamos mudar a função de integração de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Portanto, temos:

∬ R 2 x - y d A = ∬ R 2 r cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ d A = ∬ R r 2 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ d r d θ

Agora, precisamos escrever a nossa região em coordenadas polares. Ela é um retângulo polar. Os limites laterais são dados pelas retas x = 0 , o que implica em θ = π / 2 , e y = x , o que implica em θ = π / 4 . Para obter este último valor, basta fazer:

y = x

r sen ⁡ θ = r cos ⁡ θ

tan ⁡ θ = 1 ⟹ θ = π / 4

Já o raio r varia de 0 até o círculo de raio 2. Logo, 0 ≤ r ≤ 2

Passo 2

Agora que descrevemos a região em coordenadas polares, podemos colocar os limites de integração na nossa integral. Portanto,

∫ π / 4 π / 2 ∫ 0 2 r 2 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ d r d θ

∫ π / 4 π / 2 8 3 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ d θ

8 3 2 sen ⁡ θ + cos ⁡ θ π / 4 π / 2 = 8 3 ⋅ 2 + 0 - 2 + 2 2

32 - 24 2 6

Resposta

∬ R 2 x - y d A = 32 - 24 2 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D x yd A , onde D é o disco com centro na origem e raio 3 .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2d A , onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 .
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ π 2 π ∫ 4 7 rd rd θ
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ rd rd θ