Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 11
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
onde é a região acima do eixo e dentro da circunferência .
Passo 1
O primeiro passo aqui é desenhar a região de integração:
Como estamos considerando apenas a região acima do eixo , o ângulo polar varia entre
Já o raio varia entre
Passo 2
Para transformar a integral em coordenadas polares, usamos
Assim,
Passando para coordenadas polares, temos que
Nunca esqueça do jacobiano quando passamos para coordenadas polares! Como o integrando não depende de , podemos fazer a integral nessa variável de cara:
Chamando , temos que
Além disso, quando , temos . Já para , achamos . Assim,
Fazendo a integral
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Resposta
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