Lista de Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Calcule

∬ R   y d A

Onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo x 2 + y 2 = 2 x .

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Calcular a área da região abaixo usando integral dupla

x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 + 8 y ≤ 0   e   x 2 + y 2 ≥ 16

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b) Calcule a integral

∫ 0 a cos ⁡ b   ∫ 0 x tg ⁡ b f ( x , y ) d y d x + ∫ a cos ⁡ b a   ∫ 0 a 2 - x 2 f ( x , y ) d y d x

Considerando f x , y = x 4 - y 4

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Calcule

∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) d x d y

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Utilize coordenadas polares para calcular

∬ R   x x 2 + y 2 d A

Onde

R = ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4   e   x ≥ 1

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Calcule ∬ D   l n ⁡ ( x 2 + y 2 )   d x d y , onde D é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

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Considere a região plana D dada por:

D = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 - 2 x ≤ 0 , x ≥ 1

E a integral dupla

I = ∬ D x x 2 + y 2 d x d y

  1. Esboce a região D
  2. Expresse a integral I como uma integral iterada nas variáveis cartesianas x e y, integrando primeiro com respeito a y e em seguida com respeito a x (Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral).
  3. Expresse a integral I como uma integral iterada nas variáveis polares r e θ . (Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral)
  4. Calcule I (usando o método que preferir)

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Calcule a seguinte integral:

∫ 1 2 ∫ 0 2 x - x 2 1 x 2 + y 2 3 / 2 d y d x

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Utilize coordenadas polares para combinar a soma

∫ 0 1 / 2 ∫ 0 x x   d y d x + ∫ 1 / 2 1 ∫ 0 1 - x 2 x   d y d x

Em uma única integral. Em seguida, calcule essa integral.

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Utilize coordenadas polares para calcular

∬ R   x x 2 + y 2 d A

Onde

R = ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4   e   x ≥ 1

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Calcule

∬ R   y d A

Onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo x 2 + y 2 = 2 x .

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Calcule ∬ R   a r c t g ( y / x ) d A , em que R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 . Esboce a região R .

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Calcule ∬ R   s e n   x 2 + y 2 d A , em que R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 . Esboce a região de integração.

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Calcule

∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 d y d x

Esboce a região de integração.

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b) Calcule a integral

∫ 0 a cos ⁡ b   ∫ 0 x tg ⁡ b f ( x , y ) d y d x + ∫ a cos ⁡ b a   ∫ 0 a 2 - x 2 f ( x , y ) d y d x

Considerando f x , y = x 4 - y 4

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Calcule a área da figura plana limitada pela curva dada pela equação x 2 3 + y 2 3 = 1 .

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Calcule a integral dupla

∬ R x + 1 d A

Onde R é a região definida por

R = x , y 2 y ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 y ,   - y ≤ x ≤ y

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Questão 1: Expresse a área do domínio plano dado pelas relações abaixo como uma integral envolvendo coordenadas polares:

x 2 + y 2 ≤ 4 ,                 x 2 + y 2 ≥ 2 y ,                   y ≥ x .

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Considere a integral dupla em coordenadas polares:

I = ∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ θ r   d r d θ

a) Esboce a região de integração no plano cartesiano.

Sugestão: Analise a imagem das retas θ = 0 , π 4 , π 2 , 3 π 4 ,   π .

b) Calcule e interprete geometricamente a integral I .

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Questão 4: Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares:

∬ R   cos ⁡ x 2 + y 2 d A

Onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 .

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Passe para coordenadas polares e calcule:

∫ 0 1 ∫ x 2 2 - x 2 x 2 + y 2 d y d x

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  1. Passe para coordenadas polares e calcule:

∫ 1 3 ∫ 0 y 1 x 2 + y 2   d x d y

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  1. Passe para coordenadas polares e calcule:

∫ 0 3 ∫ 0 9 - x 2 arctan ⁡ y x   d y d x

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Seja

I = ∬ D f x , y d x d y = ∫ 0 1 ∫ - x 0 f x , y d y d x + ∫ 1 2 ∫ - 2 x - x 2 0 f x , y d y d x  

  1. Transforme I em uma só integral iterada na ordem invertida.
  2. Calcule I para f x , y = x 2 + y 2

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Seja

I = ∫ - 1 1 ∫ 1 1 + 1 - x 2 f x , y d y d x

  1. Inverta a ordem de integração em I .
  2. Calcule I para f x , y = 1 x 2 + y 2 .

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  1. Uma placa D tem a forma da região limitada pelas retas x = 1 , x = 2 , y = 0 e y = x 3 .

A densidade em cada ponto é inversamente proporcional a distância à distância do ponto à origem. Determine a massa da placa.

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Seja uma lâmina delgada representada pela região D , determinada por y ≤ x , y ≥ - x , x 2 + y 2 ≥ 2 x e x 2 + y 2 ≤ 4 x . Se a densidade em cada ponto é dada por ρ x , y = 1 x 2 + y 2 , determine a massa de D

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Use coordenadas polares para calcular a área da região R interior ao círculo x - 1 2 + y 2 = 1 , exterior ao círculo x 2 + y 2 = 1 .

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Qual das alternativas abaixo exibe o valor correto da integral

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 e - x 2 + y 2 d y d x

Escolha uma:

a) π e 4

b) π + e 4

c) π 4 e

d) 4 π e

e) π e - 1 4 e

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  1. Inverta a ordem de integração (Tipo I para tipo II) e calcule:
  2. ∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x

  3. Usando coordenadas polares calcule:

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 - y 2 d y d x

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Calcule a área da região plana entre as retas 3 y = 3 x , y = 3 x e limitada por x 2 + y 2 = 2 x .

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Considere S a região do plano acima da reta y = x dentro do círculo x 2 + y - 1 2 = 1 .

  1. Escreva ∬ S   5 x 3   d A em integrais iteradas em coordenadas cartesianas e em coordenadas polares.
  2. Escolha uma das formas encontradas no item anterior para mostrar que ∬ A   5 x 3   d A = - 5 12 .

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Questão 2. Use técnicas de integração para determinar a área da região plana delimitada pelos círculos x 2 + y 2 ≥ 1 e x 2 + y 2 ≤ 4 e que está entre as retas y = 0 e y = x .

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(4) Seja R a região contida no primeiro quadrante do plano, limitada pela curva x 2 + y 2 = 9 , pela reta y = 3 x e pela reta x = 0 . Marque a opção que representa a integral ∬ R     x   d x d y após mudar para coordenadas polares.

  1. ∫ π / 3   π / 2   ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ
  2. ∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ
  3. ∫ π / 3 π / 2 ∫ 0 3   r cos ⁡ θ d r d θ
  4. ∫ π / 6   π / 2 ∫ 0 3   r cos ⁡ θ d r d θ
  5. ∫ 0 π / 3 ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ

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Questão 3:

Considere a região plana D = D 1 ∪ D 2 onde:

D 1 = x ,   y ∈ R 2 ,   0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ x

e

D 2 = x ,   y ∈ R 2 ,   1 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 2 - x 2

  1. Esboce D = D 1 ∪ D 2 e determine a fronteira de D através de igualdades e desigualdades.
  2. Calcule J = ��� D   ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 d x d y

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Questão 1: Calcule a integral dupla da função e - x 2 + y 2 no disco unitário centrado na origem.

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Questão 1: Calcule a integral

∬ R   x 2 + y 2   d x d y

Onde R é a região limitada pela desigualdade x 2 + y - 1 2 ≤ 1 .

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Questão 2: Considere as regiões do espaço

U 1 = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   z 2 ≤ x 2 + y 2 + 3 ,     z ≥ 0

U 2 = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   z ≥ x 2 + y 2 + 1

Seja U = U 1 ∩ U 2 .

  1. Esboce hachurando U ∩ x = 0 .
  2. Considere V = U ∩ x ≥ 0
  3. Escreva V o l V , na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas polares.

  4. Calcule V o l V .

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Questão 3: Calcule

∬ D   ln ⁡ x 2 + y 2   d A

Onde D é a região do primeiro quadrante entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

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Questão 1: Sejam 0 < a < b < 1 dois números reais positivos. Calcule a integral dupla ∬ Ω   1 x   d A , onde

Ω = x ,   y |   a x ≤ y ≤ b x ,   2 x ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 x .

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Considere a região D do plano limitado pela curva x 2 + y 2 = 2 y .

  1. Esboce D em coordenadas cartesianas e polares.
  2. Calcule

∬ D x 2 + y 2   d x d y

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Calcule a área da região D situada fora do círculo de equação x 2 + y 2 = 9 e dentro do círculo de equação x 2 + y 2 - 6 y = 0

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Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de:

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 d y d x

  1. π / 2
  2. π
  3. 3
  4. π 2 + 3
  5. 1 / 2

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Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 d y d x 1 + x 2 + y 2 2

Em seguida, calcule o seu valor.

  1. π / 4
  2. π
  3. π / 3
  4. π / 2
  5. π / 5

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Seja Ω o domínio representado na figura, onde A é a parte da circunferência x - 3 2 + y 2 = 9 , B é a parte da circunferência x - 1 2   + y 2 = 1 , C é a parte da circunferência x - 4 2 + y 2 = 4 . Reescrever a integral dupla

∬ Ω x + y d A

na forma iterada:

3. usando coordenadas polares.

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Calcule a integral

∬ D x   d A

Onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y = x , y = 0 , e pelos círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y ² = 4 .

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Considere a região plana

R = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 - x ≤ 0 , x 2 + y 2 - y ≥ 0 , y ≥ 0

E a integral dupla

I = ∬ R x 2 + y 2 d x d y

  1. Esboce a região plana R
  2. Seja C 1 a parte da fronteira de R que está contida na circunferência de equação x 2 + y 2 - x = 0 e C 2 a parte da fronteira de R que está contida na circunferência de equação x 2 + y 2 - y = 0 . Descreva C 1 e C 2 nos seguintes formatos:
  3. C 1 = x , y ∈ R 2 y = f 1 x ,     a ≤ x ≤ b

    C 2 = x , y ∈ R 2 x = f 2 y ,     c ≤ y ≤ d

    Explicitando as constante a , b , c e d e as funções f 1 e f 2

  4. Descreva a região plana R utilizando coordenadas polares, no seguinte formato:
  5. g θ ≤ r ≤ h θ ,     α ≤ θ ≤ β

    Explicitando as funções g e h e as constantes α e β

  6. Calcule a integral dupla I utilizando o método que preferir.

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Considere D = x , y ∈ R 2 : 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e I a integral dada por

I = ∬ D x y d x d y

  1. Usando coordenadas polares calcule I . Justifique.

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  1. Passe para coordenadas polares e calcule:

∫ 0 1 ∫ 1 - 1 - y 2 1 + 1 - y 2 x y   d x d y

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Calcule a massa de uma lâmina delimitada por x - 1 2 + y - 2 2 = 1 , se a densidade em um ponto é proporcional à distância desse ponto a 1,2 .

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