Enunciado

Determine o volume dos sólidos W abaixo.

W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 <= 25 e x^2 + y^2 >= 9}

Passo 1

Bom galera, vamos começar identificando as superfícies formadas pelas equações que a questão nos deu:

x^2 + y^2 + z^2 <= 25 -> E s f e r a

x^2 + y^2 >= 9 -> C i l i n d r o

A gente pode notar que a região que chamaremos de D , fica:

9 <= x^2 + y^2 <= 25

Onde a nossa função que será o limite superior e inferior são:

x^2 + y^2 + z^2 = 25

Usamos isso para encontrar uma função f ( x , y ) pra isso isolaremos z :

z^2 = 25 - x^2 - y^2

-> z = +- sqrt(25 - x^2 - y^2)

Como ela é o limite inferior e superior a gente encontra a função:

f (x , y) = sqrt(25 - x^2 - y^2) - (- sqrt(25 - x^2 - y^2))

-> f (x , y) = 2 sqrt(25 - x^2 - y^2)

Passo 2

Belezinha, agora a gente deve fazer uma mudança de variável para a váriavel polar, aquela que ao invés de usarmos x e y usamos um raio r e um ângulo theta , essa mudança de variavel é com aquela formulinha:

int int_D f (x , y) d x d y

= int int_Q g (r , theta) |(del (x , y))/(del (r , theta))| d r d theta

Onde temos que:

r^2 = x^2 + y^2

x = r cos theta

y = r sin theta

Passo 3

Agora, encontramos a nossa função na nova variável:

f (x , y) = 2 sqrt(25 - x^2 - y^2)

Nas novas variáveis fica:

-> g (r , theta) = 2 sqrt(25 - r^2)

Passo 4

Show de bolinhas, a gente precisa calcular o determinante jacobiano, que pode ser calculado simplismente assim, com o determinante de uma matriz formada pelas derivadas parciais:

|(del (x , y))/(del (r , theta))| = det |[[(del x)/(del r),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del r),(del y)/(del theta)]]|

Então, colocamos os valores:

det |[[cos theta,-,r,sin theta],[sin theta,r,cos theta]]| = r

Passo 5

Então, pegamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

9 <= x^2 + y^2 <= 25

E a gente tem a equação:

x^2 + y^2 = r^2

Então nossa região em Q fica:

9 <= x^2 + y^2 <= 25

-> 9 <= r^2 <= 25

-> 3 <= r <= 5

Quanto a theta , nosso solido não tem nada que corte nosso cilindro e nossa esfera transversalmente, ou seja eles tem a circunferência completa, logo:

0 <= theta <= 2 pi

Passo 6

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = int int_Q g (r , theta) |(del (x , y))/(del (r , theta))| d r d theta

-> A = int_0^(2 pi) int_3^5 2 sqrt(25 - r^2) (r) d r d theta

-> A = 2 int_0^(2 pi) int_3^5 sqrt(25 - r^2) (r) d r d theta

Integramos a primeira vez:

A = 2 int_0^(2 pi) [- (1)/(3) (25 - x^2)^((3)/(2))]_3^5 d theta

= - (2)/(3) int_0^(2 pi) [(25 - x^2)^((3)/(2))]_3^5 d theta

= - (2)/(3) int_0^(2 pi) [((25 - (5)^2)^((3)/(2))) - ((25 - (3)^2)^((3)/(2)))] d theta

= - (2)/(3) int_0^(2 pi) [(0)^((3)/(2)) - (16)^((3)/(2))] d theta

= - (2)/(3) int_0^(2 pi) [- 64] d theta

E integramos denovo:

A = - (2)/(3) [- 64 theta]_0^(2 pi)

= - (2)/(3) [(- 64 (2 pi)) - (- 64 (0))]

= - (2)/(3) [- 128 pi]

= (256)/(3) pi

E prontinho. 😊

Resposta

A = (256)/(3) pi

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