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Calcule a integral definida.

∫ 3 4 5 x 3 - 4 x d x x 4 - 16

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Antes, vamos fatorar o denominador. Podemos fatorar pela fórmula da diferença de quadrados, duas vezes:

x 4 - 16 = x 2 2 - 4 2 = x 4 + 4 x 2 - 4 = x 2 + 4 x 2 - 2 2 = ( x 2 + 4 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )

Agora podemos tentar abrir a fração:

5 x 3 - 4 x ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) = A x - 2 + B x + 2 + C x + D x 2 + 4

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A ,   B ,   C e D .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

A x - 2 + B x + 2 + C x + D x 2 + 4 = A x + 2 x 2 + 4 + B x - 2 x 2 + 4 + C x + D x - 2 x + 2 x - 2 x + 2 x 2 + 4

= A x 3 + 2 x 2 + 4 x + 8 + B x 3 - 2 x 2 + 4 x - 8 + C x 3 - 4 x + D x 2 - 4 x - 2 x + 2 x 2 + 4

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

A + B + C x 3 + 2 A - 2 B + D x 2 + 4 A + 4 B - 4 C x + ( 8 A - 8 B - 4 D ) x - 2 x + 2 x 2 + 4 = 5 x 3 - 4 x ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 )    

Cada valor que está multiplicado por uma potência de x deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 4 equações:

  1. A + B + C = 5
  2. 2 A - 2 B + D = 0
  3. 4 A + 4 B - 4 C = - 4
  4. 8 A - 8 B - 4 D = 0

De (1) tiramos que C = 5 - A - B . Substituindo em (3): 4 A + 4 B - 4 5 - A - B = - 4 ⇒ 8 A + 8 B = 16 ⇒ B = 2 - A . Voltando então a (1) teremos C = 5 - A - 2 + A = 3 . De (2), tiramos que D = 2 B - 2 A = 4 - 2 A - 2 A = 4 - 4 A . Substituindo agora em (4): 8 A - 8 2 - A - 4 4 - 4 A = 0 ⇒ 8 A - 16 + 8 A - 16 + 16 A = 0 ⇒ 32 A = 32 ⇒ A = 1 . Então B = 1 e D = 0 . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

5 x 3 - 4 x ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) = 1 x - 2 + 1 x + 2 + 3 x x 2 + 4

Passo 4

Agora podemos integrar:

∫ 3 4 5 x 3 - 4 x d x x 4 - 16 = ∫ d x x - 2 + ∫ d x x + 2 + ∫ 3 x d x x 2 + 4

= ln ⁡ x - 2 3 4   + ln ⁡ x + 2 3 4   + 3 2 ln ⁡ x 2 + 4 3 4   =

= ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 + ln ⁡ 6 - ln ⁡ 5 + 3 2 ln ⁡ 20 - 3 2 ln ⁡ 13

= ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 - ln ⁡ 5 + 3 ln ⁡ 2 + 3 2 ln ⁡ 5 - 3 2 ln ⁡ 13

= 5 ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + 1 2 ln ⁡ 5 - 3 2 ln ⁡ 13

Resposta

5 ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + 1 2 ln ⁡ 5 - 3 2 ln ⁡ 13

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