Enunciado

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais

∫ - 1 0 x 3   d x x 2 - 2 x + 1

Passo 1

Como o problema nos pede para resolver a integral expressando o integrando como soma de frações parciais vamos tentar fatorar o denominador para, então, expandirmos em frações parciais

x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2

Como o grau do polinômio de cima é maior do que o do polinômio de baixo, podemos fazer a divisão entre eles e obteremos:

3 x - 2 x 2 - 2 x + 1 + x + 2

Feito tudo isso, agora podemos separar a integral em 3 sendo que apenas uma precisará da aplicação de frações parciais

∫ 3 x - 2 x 2 - 2 x + 1 + x + 2   d x =

∫ 3 x - 2 x 2 - 2 x + 1   d x + ∫ x   d x + ∫ 2   d x =

Resolvendo primeiramente de forma indefinida e após obtermos o resultado aplicar os limites de integração.

Passo 2

∫ 3 x - 2 x - 1 2   d x + ∫ x   d x + ∫ 2   d x Resolvendo cada integral separadamente e usando uma constante de integração apenas (sendo a soma de cada uma das integrais)

i : ∫ 2   d x = 2 x + C 1 i i : ∫ x   d x = x 2 2 + C 2

i i i : ∫ 3 x - 2 x - 1 2   d x =

Aplicando as frações parciais, precisaremos reescrever o integrando como sendo

3 x - 2 x - 1 2 = A ( x - 1 ) + B x - 1 2 3 x - 2 x - 1 2 = A ⋅ x - 1 + B x - 1 2

3 x - 2 x - 1 2 = A x + ( B - A ) x - 1 2

Essa igualdade só é satisfeita se

A = 3 B - A =   - 2 B = - 2 + A =   - 2 + 3 = 1

Podemos, por fim, reescrever nossa integral como: ∫ 3 x - 1 + 1 x - 1 2   d x = ∫ 3   d x x - 1 + ∫ d x x - 1 2 =

→   3 ⋅ ln ⁡ x - 1 - 1 x - 1 + C 3

Juntando todos os resultados em um único vamos ter

2 x + x 2 2 + 3 ⋅ ln ⁡ x - 1 - 1 x - 1 + K

Passo 3

Agora, basta aplicarmos os limites de integração para resolvermos a questão

2 x + x 2 2 + 3 ⋅ ln ⁡ x - 1 - 1 x - 1 - 1 0 =  

2 ⋅ 0 + 0 2 2 + 3 ⋅ ln ⁡ 0 - 1 - 1 0 - 1 - 2 ⋅ - 1 + - 1 2 2 + 3 ⋅ ln ⁡ - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 =

2 - 3 ⋅ ln ⁡ 2

Resposta

2 - 3 ⋅ ln ⁡ 2

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Calcule a integral abaixo:48 – ∫ 1 x x + 9 d x
13) ∫ 1 x 2 + 5 d x
16) ∫ 1 x 2 - x - 2 d x
9) ∫ x + 3 x 2 - x d x
15) ∫ x 2 + 3 x 2 - 9 d x