Calcule a integral indefinida.

∫ 6 w 4 + 4 w 3 + 9 w 2 + 24 w + 32 d w w 3 + 8 w 2 + 3

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Antes, vamos decompor mais o denominador. Podemos fatorar w 3 + 8 em ( w + 2 ) ( w 2 - 2 w + 4 ) . Essa é uma famosa fórmula de fatoração: a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - a b + b 2 ) . Agora podemos tentar abrir a fração:

6 w 4 + 4 w 3 + 9 w 2 + 24 w + 32 w + 2 ( w 2 - 2 w + 4 ) w 2 + 3 = A w + 2 + B w + C w 2 - 2 w + 4 + D w + E w 2 + 3

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A ,   B ,   C ,   D e E .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

A w + 2 + B w + C w 2 - 2 w + 4 + D w + E w 2 + 3 =

= A w 2 - 2 w + 4 w 2 + 3 + B w + C w + 2 w 2 + 3 + D w + E w + 2 w 2 - 2 w + 4 w + 2 w 2 - 2 w + 4 w 2 + 3

= A w 4 - 2 A w 3 + 7 A w 2 - 6 A w + 12 A + B w + C w 3 + 2 w 2 + 3 w + 6 + D w + E w 3 + 8 w + 2 w 2 - 2 w + 4 w 2 + 3

= ( A w 4 - 2 A w 3 + 7 A w 2 - 6 A w + 12 A + B w 4 + 2 B w 3 + 3 B w 2 + 6 B w + C w 3 + 2 C w 2 + 3 C w + 6 C + D w 4 + 8 D w + E w 3 + 8 E ) / w + 2 w 2 - 2 w + 4 w 2 + 3  

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de w .

Passo 3

A nossa fração então fica:

( A + B + D w 4 + - 2 A + 2 B + C + E w 3 + 7 A + 3 B + 2 C w 2 + - 6 A + 6 B + 3 C + 8 D w + 12 A + 6 C + 8 E ) / w + 2 w 2 - 2 w + 4 w 2 + 3    

Mas como essa expressão deve ser igual à fração original, cada valor que está multiplicado por uma potência de w deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 5 equações:

1   A + B + D = 6

2 - 2 A + 2 B + C + E = 4

3   7 A + 3 B + 2 C = 9

4 - 6 A + 6 B + 3 C + 8 D = 24

5   12 A + 6 C + 8 E = 32

De ( 1 ) , tiramos que D = 6 - A - B . De ( 3 ) , tiramos que C = 9 2 - 7 2 A - 3 2 B . De 4 :

- 6 A + 6 B + 3 9 2 - 7 2 A - 3 2 B + 8 6 - A - B = 24 ⇒ B = 75 - 49 A 13

Então C = - 54 + 28 A 13 e D = 3 + 36 A 13 . De (2): - 2 A + 2 B + C + E = 4 ⇒ E = - 44 + 96 A 13 , e de 5 :

12 A + 6 ⋅ - 54 + 28 A 13 + 8 ⋅ - 44 + 96 A 13 = 32 ⇒ 156 A - 324 + 168 A - 352 + 768 A = 416 ⇒ 1092 A = 1092 ⇒ A = 1 ⇒ B = 2 ,   C = - 2 ,   D = 3 ,   E = 4 .

Passo 4

Agora já conseguimos separar a integral em frações parciais:

∫ 6 w 4 + 4 w 3 + 9 w 2 + 24 w + 32 d w w 3 + 8 w 2 + 3 = ∫ 1 w + 2 + 2 w - 2 w 2 - 2 w + 4 + 3 w + 4 w 2 + 3 d w

= ∫ 1 w + 2 d w + ∫ 2 w - 2 w 2 - 2 w + 4 d w + ∫ 3 w + 4 w 2 + 3 d w

= ln ⁡ w + 2 + ∫ d w 2 - 2 w + 4 w 2 - 2 w + 4 + 3 2 ∫ 2 w d w w 2 + 3 + ∫ 4 w 2 + 3 d w

= ln ⁡ w + 2 + ln ⁡ w 2 - 2 w + 4 + 3 2 ln ⁡ w 2 + 3 + 4 ∫ 1 w 2 + 3 d w

Para a última integral, usamos a fórmula: ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a arctan ⁡ a x + C :

∫ 6 w 4 + 4 w 3 + 9 w 2 + 24 w + 32 d w w 3 + 8 w 2 + 3 = ln ⁡ w + 2 + ln ⁡ w 2 - 2 w + 4 + 3 2 ln ⁡ w 2 + 3 + 4 3 arctan ⁡ w 3

Resposta

ln ⁡ w + 2 + ln ⁡ w 2 - 2 w + 4 + 3 2 ln ⁡ w 2 + 3 + 4 3 arctan ⁡ w 3

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