Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 9.4 - Ex. 25

Ver Outros Exercícios
desse livro

Calcule a integral definida:

∫ 0 2 x 3 d x 16 - x 2

Passo 1

Podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? Antes de tentar resolver a integral, vamos fazer a seguinte manipulação:

∫ x 3 d x 16 - x 2 = ∫ x 2 ⋅ x d x 16 - x 2

Pronto! Vamos tentar a substituição u = 16 - x 2     →         d u = - 2 x d x   →       x d x = - d u 2 . Vamos tentar trocar a variável da integral.

∫ x 2 ⋅ x d x 16 - x 2 = ∫ x 2 ⋅ - d u 2 u 1 2

Perceba que a integral não está totalmente na variável u , ainda sobrou um x 2 , porém, temos que x 2 = 16 - u , então:

∫ x 2 ⋅ x d x 16 - x 2 = ∫ ( 16 - u ) ⋅ - d u 2 u 1 2 = - 1 2 ∫ 16 - u u 1 2 d u

Essa é uma integral quase imediata.

Passo 2

Para resolver a integral acima, vamos fazer o seguinte:

- 1 2 ∫ 16 - u u 1 2 d u = - 1 2 ∫ 16 u 1 / 2 - u u 1 / 2 d u = - 1 2 ∫ 16 u - 1 2 - u ⋅ u - 1 2 d u

Agora vamos usar ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C       n ≠ - 1 .

- 1 2 ∫ 16 u - 1 2 - u 1 2 d u = - 1 2 16 u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 - u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C = - 1 2 16 u 1 2 1 2 - u 3 2 3 2 + C

= - 16 u 1 2 - u 3 2 3 + C = - 16 16 - x 2 - 16 - x 2 3 3 + C

Pois, u = 16 - x 2 . Simplificando:

= - 16 16 - x 2 - 16 - x 2 16 - x 2 3 + C

= - 1 3 ( 3 ⋅ 16 - ( 16 - x 2 ) ) 16 - x 2 + C

= - 1 3 ( 32 + x 2 ) ) 16 - x 2 + C

Passo 3

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 0 2 x 3 d x 16 - x 2 = - 1 3 ( 32 + x 2 ) ) 16 - x 2 0 2

= - 1 3 ( 32 + 2 2 ) 16 - 2 2 - ( 32 + 0 2 ) 16 - 0 2

= - 1 3 36 12 - 32 16 = - 1 3 36 12 - 32 4 = - 1 3 72 3 - 128

= - 24 3 + 128 3

E esse é o resultado procurado.

Resposta

∫ 0 2 x 3 d x 16 - x 2 = - 24 3 + 128 3

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1

Ver Mais

Calcule a integral indefinida: ∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1   d x

Ver Mais

Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 2 - x 2   d x

Ver Mais

Calcule a integral ∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x

Ver Mais

Calcule a integral ∫ x + a r c s e n   x 1 - x 2 d x

Ver Mais