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Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.

Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3

O A C em torno do eixo x

Passo 1

A figura que ele deu é:

Com a curva

y 2 = x 3

Aqui, queremos o colume de O A C em torno do eixo x .

A região é entre a curva e o eixo x .

Com x = 0 até x = 4 . Onde o raio do disco vai ser a própria função:

Para acharmos a função, vamos isolar o y

y = x 3 2

Assim:

r x = x 3 2

O volume vai ser:

V = ∫ 0 4 π x 3 2 2 d x

V = ∫ 0 4 π x 3 d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 4 π x 3 d x

V = π ∫ 0 4 x 3 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ x 3 d x = x 4 4 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 4 x 3 d x = π x 4 4 0 4 =

π 4 4 4 - π 0 4 4 =

π 256 4

64 π

Resposta

64 π

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