Calcule a integral definida.

∫ 1 2 ln ⁡ x 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Para essa integral vamos precisar integrar por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = ln ⁡ x 2 e d v = d x , temos que

d u = 2 ln ⁡ x x d u           e           v = x

Assim,

I = ∫ 1 2 ln ⁡ x 2   d x = x   ln ⁡ x 2 1 2 - ∫ 1 2 2 ln ⁡ x x ⋅ x   d x

Portanto,

I = 2   ln ⁡ 2 2 - ln ⁡ 1 2 - 2 ∫ 1 2 ln ⁡ x   d x

Assim,

I = 2   ln ⁡ 2 2 - 2 I 1 ,

onde

I 1 = ∫ 1 2 ln ⁡ x   d x

Passo 2

Para calcular I 1 usaremos parte novamente, com u = ln ⁡ x e d v = d x :

d u = 1 x d x         e         v = x

Assim,

I 1 = ∫ 1 2 ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x 1 2 - ∫ 1 2 x ⋅ 1 x d x

Logo,

I 1 = 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 - ∫ 1 2 d x = 2 ln ⁡ 2 - ( 2 - 1 )

Portanto,

I 1 = 2 ln ⁡ 2 - 1

Passo 3

Agora podemos calcular I :

I = 2   ln ⁡ 2 2 - 2 I 1 = 2 ln 2 ⁡ 2 - 2 ( 2 ln ⁡ 2 - 1 )

Assim,

I = 2 ln 2 ⁡ 2 - 4 ln ⁡ 2 + 2

Resposta

2 ln 2 ⁡ 2 - 4 ln ⁡ 2 + 2

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