Enunciado

Use as entradas indicadas na Tabela de Integrais nas Paginas de Referencia para resolver a integral.

∫ d x 1 - e 2 x

Passo 1

Pessoal, a integral deste exercício deve ser checada na Tabela de Integrais, nas Páginas de Referência. A partir delas conseguiremos resolver a integral dada. Vamos la:

∫ d x 1 - e 2 x

Normalmente quando temos uma exponencial fazemos uma substituição de variável. Podemos substituir o denominador por u:

u = 1 - e 2 x

d u = - 2 e 2 x 1 2 1 - e 2 x d x = - e 2 x 1 - e 2 x d x

Substituindo na integral:

∫ d x 1 - e 2 x → ∫ - 1 - e 2 x e 2 x d u 1 - e 2 x → ∫ - d u e 2 x

Porém, temos que   u = 1 - e 2 x → e 2 x = 1 - u 2 . Substituindo acima:

∫ - d u e 2 x = - ∫ d u 1 - u 2

Esta integral pode ser associada a integral 19 da Tabela de referência, onde a = 1 .

Deste modo temos que:

- ∫ d u 1 - u 2 = - 1 2 ln ⁡ u + 1 u - 1 + C

Pela propriedade da potência do logaritmo:

- 1 2 ln ⁡ u + 1 u - 1 = ln ⁡ u + 1 u - 1 - 1 / 2 = ln ⁡ u - 1 u + 1

Agora, vamos retornar com o valor de x : u = 1 - e 2 x  

ln ⁡ u - 1 u + 1 + C = ln ⁡ 1 - e 2 x - 1 1 - e 2 x + 1 + C

Que é a nossa resposta.

Existem outras formas de escrever esta solução:

Podemos usar a propriedade da divisão em logaritmos para tornar a resposta mais “simples”:

log ⁡ a b = log ⁡ a - log ⁡ b

ln ⁡ 1 - e 2 x - 1 1 - e 2 x + 1 + C = ln ⁡ 1 - e 2 x - 1 - ln ⁡ 1 - e 2 x + 1 + C

E a propriedade da potência:

ln ⁡ 1 - e 2 x - 1 - ln ⁡ 1 - e 2 x - 1 + C = 1 2 ln ⁡ 1 - e 2 x - 1 - 1 2 ln ⁡ 1 - e 2 x + 1 + C

1 2 ln ⁡ 1 - e 2 x - 1 1 - e 2 x + 1 + C

Resposta

= ln ⁡ 1 - e 2 x - 1 1 - e 2 x + 1 + C

o u

= 1 2 ln ⁡ 1 - e 2 x - 1 - 1 2 ln ⁡ 1 - e 2 x + 1 + C

o u

1 2 ln ⁡ 1 - e 2 x - 1 1 - e 2 x + 1 + C

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