Enunciado

Avalie a integral fazendo a substituição fornecida.

∫ 2 t + 1 d t ,         u = 2 t + 1

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 2 t + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 + 0   d t → d u 2 = d t

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 2 t + 1 d t = ∫ u 2   d u = ∫ u 1 2 2   d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Agora é só aplicar:

∫ u 1 2 2   d u = 1 2 ∫ u 1 2   d u = 1 2 ⋅ u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C = 1 2 ⋅ u 3 2 3 2 + C = 1 2 ⋅ 2 3 ⋅ u 3 2 + C = u 3 2 3 + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 2 t + 1 d t = u 3 2 3 + C = 2 t + 1 3 2 3 + C

Resposta

∫ 2 t + 1 d t = 2 t + 1 3 2 3 + C

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Calcule a integral indefinida. ∫ x + 1 + 1 x + 1 - 1d x
Calcule a integral definida. ∫ 1 2 ln ⁡ x 2d x
Calcule a integral definida. ∫ 1 1 0 log ⁡ e xd x
Efetue a antidiferenciação ∫ t + 1 t 3 2 ( t 2 - 1 ) / t 2d t
Efetue a antidiferenciação ∫ s e n x s e n ( c o s x ) d x