Calcule a integral definida

∫ 1 3 x (   3 x 2 - 1   ) ³ d x      

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Essa é mais uma das integrais que parecem complicadinhas , mas se substituir fica algo beeeeeem tranquilo . E lembra da dica máxima : Substitua o denominador

Então vamos la! \o/

∫ 1 3 x (   3 x 2 - 1   ) ³ d x      

u       = 3 x 2 - 1     ,

d u   =   6 x   d x → d u 6 = x   d x  

Nosso Próximo passo é alterar os limites de integração.

u       = 3 x 2 - 1

S e   t   =   1   ,   u   =   2

S e   t   =   3 ,   u = 26

Entao

∫ 1 3 x   3 x 2 - 1   3 d x  

  Fica

∫ 2 26 1 6 u 3   d u    

=   1 6 ∫ 2 26 u - 3   d u    

Passo 3

Pronto chegamos a uma expressão que é muito fácil integrar. O limite de integração ficou esquisito ... um intervalo de [26 , 2 ], mas relaxa. Quando a gente substitui eles podem se alterar para coisas mais estranhas mesmo.

=   1 6 ∫ 2 26 u - 3   d u    

=     1 6 .   - 1 2   u - 2 u = 2 26

=   - 1 12   26 - 2 - 2 - 2  

= 7 338

Resposta

∫ 1 3 x (   3 x 2 - 1   ) ³ d x   =   7 338

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