Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ θ 1 - θ 2 4 d θ

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de θ 4 com 1 - θ 2 , então vamos fazer

u = 1 - θ 2

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d θ no final:

u = 1 - θ 2 → d u = 1 - θ 2 ' d θ = - 2 θ d θ

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ θ 1 - θ 2 4 d θ

O termo dentro da raiz é o próprio u !

∫ θ u 4 d θ

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = - 2 θ d θ → - d u 2 = - 1 2 - 2 θ d θ → - d u 2 = θ d θ

Agora podemos substituir na integral :D

∫ θ u 4 d θ = ∫ u 4 - d u 2 = - 1 2 ∫ u 4 d u = - 1 2 ∫ u 1 4 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

- 1 2 ∫ u 1 4 d u = - 1 2 4 5 u 5 4 + C = - 2 u 5 4 5 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ θ 1 - θ 2 4 d θ = - 2 ( 1 - θ 2 ) 5 4 5 + C

Resposta

- 2 ( 1 - θ 2 ) 5 4 5 + C

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