Calcule a integral definida:

∫ 1 2 t + 2 d t 4 t - t 2

Passo 1

Pessoal, temos uma integral definida para resolver, podemos fazer de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Este tipo de integral precisa de uma manipulação na expressão que está no denominador. Precisaremos completar o quadrado para depois usar uma substituição.

4 t - t 2 = - ( t 2 - 4 t )

Agora eu vou somar b 2 e – b 2 para não alterar a expressão.

- t 2 - 4 t + b 2 - b 2 = - t 2 - 4 t + b 2 + b 2

Para o que está em azul virar t - b 2 , eu preciso que o meu b , seja igual ao coeficiente do t , dividido por 2, ou seja, b = 4 2 = 2 . Sendo assim,

- t 2 - 4 t + 2 2 + 2 2

- t 2 - 4 t + 4 + 4

- t - 2 2 + 4

Fechou então, vamos trocar a expressão da integral e ir para próxima etapa.

∫ 1 2 t + 2 d t 4 t - t 2 = ∫ 1 2 t + 2 d t 4 - t - 2 2

Passo 2

Agora faremos uma substituição, já que aparece t - 2 , no numerador e na raiz.

Faremos a substituição u = t - 2 e derivando temos d u = d t .

Aproveitamos essa substituição e trocamos os limites de integração da seguinte forma:

Passo 3

Agora para trocar a variável, nós temos que:

u = t - 2   →       t + 2 = u + 4

Basta substituir então.

∫ 1 2 t + 2 d t 4 - t - 2 2 = ∫ - 1 0 ( u + 4 ) d u 4 - u 2

Agora vou separar em duas integrais, ok?

∫ - 1 0 ( u + 4 ) d u 4 - u 2 = ∫ - 1 0 u d u 4 - u 2 + ∫ - 1 0 4 d u 4 - u 2

Pronto, agora resolveremos uma de cada vez!

Passo 4

Vamos resolver a primeira e para isso faremos a substituição h = 4 - u 2 que implica em d h = - 2 u d u , após derivar.

Temos u d u , na integral. Vamos dividir tudo por - 2 então, daí:

d h - 2 = u d u

Vamos também trocar os limites de integração:

Agora podemos trocar tudo na integral.

I 1 = ∫ - 1 0 u d u 4 - u 2 = ∫ 3 4 d h - 2 h = 1 - 2 ∫ 3 4 d h h = - 1 2 ∫ 3 4 h - 1 2 d h

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

I 1 = - 1 2 ∫ 3 4 h - 1 2 d h = - 1 2 h - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 3 4 = - 1 2 h 1 2 3 4 = - h 3 4 = - 4 - - 3

I 1 = - 1 2 ∫ 3 4 h - 1 2 d h = - 2 + 3

Apenas usamos a integral de um polinômio com n = - 1 2 .

Passo 5

Agora vamos resolver a segunda integral:

I 2 = ∫ - 1 0 4 d u 4 - u 2

A primeira coisa é deixar o que está dentro do denominador parecido com 1 - u 2 . Para isso vamos deixar o 4 em evidência e manipular da seguinte forma:

∫ - 1 0 4 d u 4 - u 2 = ∫ - 1 0 4 d u 4 1 - u 2 4 = ∫ - 1 0 4 d u 2 1 - u 2 2 2 = 1 2 ∫ - 1 0 4 d u 1 - u 2 2

Agora fazemos uma substituição u 2 = x     →       d u 2 = d x   →     4 d u = 8 d x e depois trocamos os limites de integração:

Substituindo na integral ficamos com:

I 2 = 1 2 ∫ - 1 0 4 d u 1 - u 2 2 = 1 2 ∫ - 1 2 0 8 d x 1 - x 2 = 4 ∫ - 1 2 0 d x 1 - x 2

Podemos resolver agora a integral:

I 2 = 4 ∫ - 1 2 0 d x 1 - x 2 = 4 sen - 1 ⁡ x - 1 2 0 = 4 sen - 1 ⁡ 0 - 4 sen - 1 ⁡ - 1 2  

I 2 = sen - 1 ⁡ 0 - 4 sen - 1 ⁡ - 1 2 = 0 - 4 - π 6 = 2 3 π

Lembrando que o arco cujo seno é - 1 2 é o arco de - π 6 radianos.

Passo 6

Agora vamos substituir tudo na integral:

∫ - 1 0 ( u + 4 ) d u 4 - u 2 = ∫ - 1 0 u d u 4 - u 2 + ∫ - 1 0 4 d u 4 - u 2

∫ - 1 0 ( u + 4 ) d u 4 - u 2 = - 2 + 3 + 2 3 π

Ufa! Grande essa, hein. Lembre-se sempre de fazer passo a passo cada integral e essa também poderia ser feita de outra forma: resolvendo a indefinida e no final substituindo os limites de integração da variável original.

Resposta

∫ 1 2 t + 2 d t 4 t - t 2 = - 2 + 3 + 2 3 π

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