Enunciado

Se q coulombs for a carga de eletricidade recebida por um condensador de um circuito elétrico de i ampères em t s, então i = d q d t . Se i = 4 c o s ( 120 t ) e q = 0 quando t = 0 , ache a carga positiva máxima no condensador.

Passo 1

Uma interpretação da derivada é a que ela representa a variação de uma grandeza em relação a outra. No caso desse exercício, a grandeza que varia é a carga elétrica no tempo, o que dá origem a corrente elétrica! Como dado no enunciado, a corrente i pode ser escrita como i = d q d t . Nos foi pedido a carga positiva no condensador, ou seja, q(t). Também nos foi dada o valor pra corrente e da carga em um determinado instante de tempo. Vamos montar nosso problema abaixo.

q t = ∫ d q Como podemos obter dq para substituirmos na integral e encontrar a carga máxima? Através da relação da corrente que nos foi dada!

i = d q d t d q = i   d t d q = 4 c o s 120 t d t

Agora temos todas as informações para resolver o problema!

q t = ∫ 4 c o s 120 t d t

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

q t = ∫ 4 c o s 120 t d t q t = 4 ∫ c o s 120 t d t q t = 4 sen ⁡ 120 t 120 + K q t = 4 120 sen ⁡ 120 t + K

Passo 3

Uma vez obtida a equação da carga, vamos aplicar o valor inicial dado no enunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Assim,

q 0 = 0 q 0 = 4 120 s e n ( 120 * 0 ) + K = 0 1 30 s e n ( 0 ) + K = 0

Como o seno de 0 é igual a 0, temos: K = 0

Portanto,

q t = 1 30 s e n ( 120 t )

Passo 4

O enunciado pede o valor da carga positiva máxima no condensador. Vamos olhar para a equação da carga elétrica;

q t = 1 30 s e n ( 120 t ) Para que essa quação atinja seu valor máximo, a função seno precisa assumir o seu maior valor, ou seja, 1. Isso acontecendo teremos que:

q t = 1 30 * 1 q t = 1 30

Resposta

A carga positiva máxima é:

q t = 1 30

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Calcule a integral indefinida. ∫ sin ⁡ x x d x
Calcule a integral indefinida. ∫ d x a x + b a ≠ 0