Enunciado

Calcule a integral definida

int_0^((1)/(2)) (d x)/(sqrt(1 - x^2))

Passo 1

Para fazer a integral definida primeiro temos que achar a indefinida, e fazer o teorema da variação total depois

int (d x)/(sqrt(1 - x^2))

Essa integral já é direta

int (d x)/(sqrt(1 - x^2)) = sen^(- 1) x + C

Passo 2

Agora que achamos a integral indefinida, vamos para a definida:

int_0^((1)/(2)) (d x)/(sqrt(1 - x^2)) = (sen^(- 1) x|_0^((1)/(2)) = (sen^(- 1) (1)/(2)) - (sen^(- 1) 0)

Precisamos achar esse senos inversos.

Temos:

sen^(- 1) (1)/(2) = a ⟷ sen a = (1)/(2)

O ângulo que tem seno igual a (1)/(2) é (pi)/(6)

sen^(- 1) 0 = a ⟷ sen a = 0

O ângulo que tem seno igual a 0 é 0

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int_0^((1)/(2)) (d x)/(sqrt(1 - x^2)) = (pi)/(6) - 0 = (pi)/(6)

Resposta

(pi)/(6)

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